Lezione 2

1 Modulo e argomento di un numero complesso

L’interpretazione dei numeri complessi come coppie di numeri reali permette di rappresentarli come punti del piano cartesiano: al numero complesso $z=a+ib$ associamo il punto del piano di coordinate $(a,b)$.

Indichiamo con $\rho$ la distanza di tale punto dall’origine del sistema di riferimento e con $\theta$ l’angolo compreso tra il semiasse positivo delle ascisse e la semiretta uscente dall’origine e passante per il punto $(a,b)$. I numeri reali $\rho$ e $\theta$ sono detti, rispettivamente, il modulo e l’argomento del numero complesso $z=a+ib$:

$$\rho =|z|\theta =\arg (z).$$

Notiamo che l’argomento di $z$ è determinato solo a meno di multipli di $2\pi$, inoltre l’argomento di $0$ è indeterminato. Se $z=a+ib$, si ha dunque:

$$|z|=\rho =\sqrt{a^2+b^2}\tan (\theta )=b/a.$$

Osserviamo che se $z$ è un numero reale, il modulo di $z$ coincide con il suo valore assoluto. Elenchiamo ora alcune proprietà del modulo di un numero complesso, la cui verifica è lasciata come esercizio:

1. $|z|\ge 0$ per ogni $z$ e $|z|=0$ se e solo se $z=0$

2. $|\overline{z}|=|z|$

3. $|z|=\sqrt{z\overline{z}}$

4. $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$

5. $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$

6. $z^{-1}=\frac{\overline{z}}{{|z|}^2}$, per ogni $z\ne 0$.

2 Rappresentazione trigonometrica dei numeri
complessi

Sia $z=a+ib$ un numero complesso e poniamo $\rho =|z|$ e $\theta =\arg (z)$. Dalla trigonometria sappiamo che $a=\rho \cos \theta$ e $b=\rho \sin \theta$, quindi possiamo scrivere

$$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta ).$$

Questa espressione è detta la rappresentazione trigonometrica del numero complesso $z$.

Nella rappresentazione trigonometrica la formula per il prodotto di due numeri complessi diventa particolarmente semplice. Dati due numeri complessi $z_1={\rho }_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$ e $z_2={\rho }_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$, si ha infatti:

$z_1{z}_2$ $={\rho }_1{\rho }_2(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$

$={\rho }_1{\rho }_2\left((\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)+i(\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2)\right)$

$={\rho }_1{\rho }_2\left(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\right).$

Dunque, nella moltiplicazione di due numeri complessi, i rispettivi moduli vengono moltiplicati tra loro, mentre gli argomenti si sommano.

2.1 Radici dell’unità

La rappresentazione trigonometrica è particolarmente adatta al calcolo delle potenze di un numero complesso. Infatti, se $z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$, allora per ogni numero intero $n$ si ha

$$z^n={\rho }^n\left(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )\right).$$

Usando questa espressione possiamo facilmente calcolare le cosiddette radici ennesime dell’unità, cioè i numeri complessi $z$ che sono soluzioni dell’equazione $z^n=1$. Infatti nella rappresentazione trigonometrica l’equazione $z^n=1$ si riscrive nella forma

$${\rho }^n\left(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )\right)=1,$$

da cui si deduce che deve essere $\rho =1$ e $n\theta =2k\pi$, cioè $\theta =2k\pi /n$, per $k=0,1,2$, ecc.

Naturalmente i valori $k=0$ e $k=n$ determinano lo stesso numero complesso e pertanto l’equazione $z^n=1$ ha esattamente $n$ soluzioni distinte, $z_0$, $z_1$, …, $z_{n-1}$, corrispondenti ai valori di $k$ da $0$ a $n-1$. Le soluzioni sono quindi date da

$$z_k=\cos \left(\frac{2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{2k\pi }{n}\right),\text{per }k=0,1,2,\mathrm{\dots },n-1.$$

Le $n$ soluzioni $z_0$, …, $z_{n-1}$ sono i vertici di un poligono regolare di $n$ lati, inscritto nella circonferenza di raggio $1$ centrata nell’origine, con $z_0=1$.

3 Rappresentazione esponenziale

Vediamo ora come si possa definire l’esponenziale di un numero complesso. A tal fine ricordiamo che la funzione esponenziale che ad ogni numero reale $x$ associa $e^x$ ammette uno sviluppo in serie di Taylor, dato da

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\mathrm{\cdots }+\frac{x^n}{n!}+\mathrm{\cdots }$$

Questa serie può dunque essere presa come definizione dell’esponenziale di $x$, per ogni numero reale $x$.

Ora osserviamo che in tale serie compaiono solo somme e prodotti (potenze), che hanno perfettamente senso anche se, al posto di un numero reale $x$, consideriamo un numero complesso $z$. Si può inoltre verificare che, per ogni numero complesso $z$, la serie

$$1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\mathrm{\cdots }+\frac{z^n}{n!}+\mathrm{\cdots }$$

è convergente (questo risultato viene dimostrato nei corsi di Analisi Matematica).

Possiamo quindi definire l’esponenziale di un numero complesso $z$ ponendo

$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\mathrm{\cdots }+\frac{z^n}{n!}+\mathrm{\cdots }$$

Siamo ora in grado di dimostrare un’importante identità, dovuta ad Eulero.

Sia $x$ un numero reale e consideriamo l’esponenziale di $ix$:

$e^{ix}$ $=1+ix+{\displaystyle \frac{{(ix)}^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{{(ix)}^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{{(ix)}^4}{4!}}+{\displaystyle \frac{{(ix)}^5}{5!}}+{\displaystyle \frac{{(ix)}^6}{6!}}+{\displaystyle \frac{{(ix)}^7}{7!}}+\mathrm{\cdots }$

$=1+ix-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}-i{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}+i{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-{\displaystyle \frac{x^6}{6!}}-i{\displaystyle \frac{x^7}{7!}}+\mathrm{\cdots }$

$=\left(1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}-{\displaystyle \frac{x^6}{6!}}+\mathrm{\cdots }\right)+i\left(x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-{\displaystyle \frac{x^7}{7!}}+\mathrm{\cdots }\right)$

Ricordando gli sviluppi in serie di Taylor delle funzioni seno e coseno

$\sin x$ $=x-{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{x^5}{5!}}-{\displaystyle \frac{x^7}{7!}}+\mathrm{\cdots }$

$\cos x$ $=1-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^4}{4!}}-{\displaystyle \frac{x^6}{6!}}+\mathrm{\cdots }$

si ottiene la seguente identità:

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$$

Ad esempio, per $x=2\pi$, si ha

$$e^{2\pi i}=1.$$

Utilizzando la precedente identità e le proprietà dell’esponenziale è possibile calcolare l’esponenziale di un qualunque numero complesso $z=a+ib$, come segue:

$$e^z=e^{a+ib}=e^a\cdot e^{ib}=e^a(\cos b+i\sin b).$$

Utilizzando l’identità di Eulero, l’espressione trigonometrica di un numero complesso $z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$ può essere riscritta nella forma

$$z=\rho e^{i\theta },$$

ove $\rho =|z|$ e $\theta =\arg (z)$.