1 Campi (di numeri)

Lezione 1

1 Campi (di numeri)

Definizione. Un campo è un insieme non vuoto $K$ dotato di due operazioni, che chiameremo addizione e moltiplicazione, per le quali valgono le seguenti proprietà. Per ogni $a,b,c\in K$ si ha

1.

$a+(b+c)=(a+b)+c$
2.

$a+b=b+a$
3.

esiste un elemento, indicato con $0$ , tale che $a+0=0+a=a$
4.

per ogni $a\in K$ esiste un elemento, indicato con $-a$ , tale che $a+(-a)=0$
5.

$a(bc)=(ab)c$
6.

$ab=ba$
7.

esiste un elemento, indicato con $1$ , tale che $1a=a$ (si suppone $1\neq 0$ )
8.

per ogni $a\in K$ , con $a\neq 0$ , esiste un elemento, indicato con $a^{-1}$ , tale che $aa^{-1}=1$
9.

$(a+b)c=ac+bc$ e $a(b+c)=ab+ac$ .

L’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali e l’insieme $\mathbb{Z}$ dei numeri interi

\mathbb{N}=\{\,0,1,2,3,\dots\,\}\qquad\mathbb{Z}=\{\,\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,% \dots\,\}

non sono dei campi (non vale la proprietà (8), cioè l’esistenza degli inversi).

Sono invece dei campi l’insieme

\mathbb{Q}=\Big{\{}\,\frac{m}{n}\,:\,m,n\in\mathbb{Z},n\neq 0\,\Big{\}}

dei numeri razionali e l’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali (che si studia nei corsi di Analisi Matematica).

Osservazione. Gli insiemi $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono esempi di campi infiniti. Facciamo notare che esistono anche campi aventi un numero finito di elementi. L’esempio più banale è costituito dall’insieme $\{0,1\}$ con le operazioni di addizione e moltiplicazione definite come segue:

\begin{gathered}0+0=0,\quad 0+1=1+0=1,\quad 1+1=0,\\ 0\cdot 0=0\cdot 1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot 1=1.\end{gathered}

È facile verificare che, con queste due operazioni, l’insieme $\{0,1\}$ è un campo, cioè soddisfa le nove proprietà elencate sopra.

2 Il campo dei numeri complessi

Il campo dei numeri reali è un campo ordinato, cioè dati due numeri reali $x$ e $y$ ci sono solo tre possibilità: o $x=y$ , o $x<y$ , oppure $x>y$ . Inoltre il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a $0$ e, in effetti, ogni numero $\geq 0$ risulta essere il quadrato di un numero reale, cioè ogni numero reale non negativo ammette una radice quadrata. Ciò non vale invece per i numeri negativi: ad esempio, l’equazione $x^{2}=-1$ non ammette soluzioni. Per ovviare a questo inconveniente è necessario ingrandire opportunamente l’insieme dei numeri reali aggiungendo dei nuovi elementi.

Introduciamo dunque un nuovo simbolo, che indicheremo con la lettera $i$ , con la proprietà che $i^{2}=-1$ ; scriveremo anche $i=\sqrt{-1}$ . Naturalmente $i$ non è un numero reale: lo chiameremo unità immaginaria. Consideriamo poi l’insieme $\mathbb{C}$ di tutte le espressioni del tipo $a+ib$ , ove $a$ e $b$ sono numeri reali:

\mathbb{C}=\{\,a+ib\,:\,a,b\in\mathbb{R}\,\}.

Gli elementi dell’insieme $\mathbb{C}$ sono detti numeri complessi. Dato un numero complesso $z=a+ib$ , i due numeri reali $a$ e $b$ sono detti rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di $z$ .

Naturalmente ogni numero reale $a\in\mathbb{R}$ può essere pensato anche come un numero complesso, infatti si ha $a=a+i0$ , quindi l’insieme $\mathbb{R}$ dei numeri reali è un sottoinsieme di quello dei numeri complessi.

2.1 Operazioni con numeri complessi

Vogliamo estendere all’insieme dei numeri complessi le operazioni di addizione e moltiplicazione definite nell’insieme dei numeri reali.

Per quanto riguarda l’addizione, dati due numeri complessi $z_{1}=a+ib$ e $z_{2}=c+id$ , poniamo

z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d).

È immediato verificare che l’addizione così definita è associativa e commutativa, che $0=0+i0$ è l’elemento neutro e che l’opposto del numero complesso $a+ib$ è $-a-ib$ .

Per definire il prodotto di due numeri complessi procediamo in modo puramente formale, utilizzando la proprietà distributiva e ricordando che, per definizione, $i^{2}=-1$ .

Dati $z_{1}=a+ib$ e $z_{2}=c+id$ , si ha pertanto

	$\displaystyle z_{1}z_{2}$	$\displaystyle=(a+ib)(c+id)$
		$\displaystyle=ac+iad+ibc+i^{2}bd$
		$\displaystyle=ac+iad+ibc-bd$
		$\displaystyle=(ac-bd)+i(ad+bc).$

Si può verificare facilmente che la moltiplicazione così definita è associativa e commutativa e che l’elemento neutro è $1=1+i0$ . Dimostriamo ora che ogni numero complesso $z\neq 0$ ammette un inverso moltiplicativo.

Sia dunque $z=a+ib$ un numero complesso non nullo. Poiché $z\neq 0$ , i numeri reali $a$ e $b$ non sono entrambi nulli, quindi $a^{2}+b^{2}\neq 0$ . Possiamo quindi considerare il numero complesso

w=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.

Effettuando il prodotto di questi due numeri, si trova

zw=(a+ib)\Big{(}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\Big{)}=\frac{a^{2% }}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=1,

da cui si deduce che $w$ è l’inverso di $z$ . Si ha dunque

z^{-1}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}.

Da quanto visto fin’ora si deduce che l’insieme $\mathbb{C}$ dei numeri complessi, dotato delle operazioni di addizione e moltiplicazione, è un campo.

Osservazione. Un numero complesso $z=a+ib$ può anche essere pensato come una coppia ordinata di numeri reali $(a,b)$ . Pertanto l’insieme dei numeri complessi può essere identificato con l’insieme delle coppie di numeri reali

\mathbb{C}=\mathbb{R}^{2}=\{\,(a,b)\,:\,a,b\in\mathbb{R}\,\}.

2.2 Il coniugio

Dato un numero complesso $z=a+ib$ , definiamo il suo coniugato $\bar{z}=a-ib$ . La funzione che ad ogni numero complesso $z$ associa il suo coniugato $\bar{z}$ è detta il coniugio.

In termini del coniugio, le parti reale $a$ ed immaginaria $b$ di un numero complesso $z=a+ib$ si esprimono come segue:

a=\frac{z+\bar{z}}{2}\qquad b=\frac{z-\bar{z}}{2i}.

Notiamo che il prodotto di $z=a+ib$ per il suo coniugato $\bar{z}=a-ib$ è uguale a $a^{2}+b^{2}$ :

z\bar{z}=a^{2}+b^{2}.

Il coniugio soddisfa le seguenti proprietà, che si possono verificare con dei semplici calcoli:

1.

il coniugato del coniugato di $z$ è uguale a $z$
2.

$z$ è uguale al suo coniugato se e solo se $z$ è un numero reale
3.

il coniugato della somma $z_{1}+z_{2}$ è uguale alla somma del coniugato di $z_{1}$ più il coniugato di $z_{2}$
4.

il coniugato del prodotto $z_{1}z_{2}$ è uguale al prodotto del coniugato di $z_{1}$ per il coniugato di $z_{2}$ .

Una conseguenza di queste proprietà è la seguente: se

f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots+a_{n}z^{n}

è un polinomio a coefficienti reali, allora si ha

	$\displaystyle\overline{f(z)}$	$\displaystyle=\overline{a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots+a_{n}z^{n}}$
		$\displaystyle=\bar{a}_{0}+\bar{a}_{1}\bar{z}+\bar{a}_{2}\bar{z}^{2}+\cdots+% \bar{a}_{n}\bar{z}^{n}$
		$\displaystyle=a_{0}+a_{1}\bar{z}+a_{2}\bar{z}^{2}+\cdots+a_{n}\bar{z}^{n}$
		$\displaystyle=f(\bar{z}).$

Un corollario di questo fatto è il seguente: se $f$ è un polinomio a coefficienti reali e se un numero complesso $z$ è tale che $f(z)=0$ , allora anche $f(\bar{z})=0$ .

Notiamo che può certamente accadere che $z$ coincida con il suo coniugato $\bar{z}$ , ma in tal caso $z$ è un numero reale.

Una proprietà molto importante del campo dei numeri complessi è espressa dal seguente teorema, noto come teorema fondamentale dell’algebra:

Teorema. Ogni polinomio di grado $n$ a coefficienti complessi

f(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_{1}z+a_{0},

si fattorizza in un prodotto di fattori lineari (non necessariamente distinti),

f(z)=a_{n}(z-z_{1})(z-z_{2})\cdots(z-z_{n}),

per opportuni numeri complessi $z_{1},z_{2},\dots,z_{n}$ .

Ciò significa che ogni equazione di grado $n$ , del tipo $f(z)=0$ , nel campo dei numeri complessi ammette sempre $n$ soluzioni, $z=z_{1}$ , $z=z_{2}$ , …, $z=z_{n}$ (non necessariamente distinte).