Strutture Matematiche di Base
Lezione dimostrativa

1 Introduzione

Questa lezione è un esempio di materiale didattico matematico convertito da Latex a HTML, con l’obiettivo di renderlo accessibile tramite screen reader e tavola braille. Troverai una serie di sezioni, ciascuna contenente un breve testo e una formula. Scorri liberamente il contenuto e interagisci con le formule come preferisci. Al termine della navigazione, ti chiediamo gentilmente di compilare un breve questionario. Troverai un link in fondo alla pagina.

2 Equazione di primo grado

Un’equazione di primo grado è uno degli strumenti più usati in matematica per trovare un valore incognito. Si tratta di un’uguaglianza in cui la variabile compare con esponente 1. Per risolverla si isolano i termini con la variabile da un lato e i termini numerici dall’altro.

Quella che segue è un’equazione di primo grado nell’incognita $x$:

$$2x+5=13$$

Quindi, in questo caso, la soluzione si ottiene in due passaggi. Prima sottraiamo 5 da entrambi i membri, andando ad isolare i valori con x a sinistra. Poi, dividiamo entrambi i membri per 2, ottenendo quindi che $x=4$.

3 Frazione algebrica

Una frazione algebrica ha la stessa struttura di una frazione numerica, ma al numeratore e al denominatore compaiono espressioni con variabili. È importante ricordare che il denominatore non può mai essere uguale a zero.

Quella che segue è un’equazione con una frazione algebrica:

$$\frac{3x+1}{x-2}=\frac{5}{2}$$

Il denominatore si annulla per $x=2$, quindi la condizione di esistenza è $x\ne 2$.

Per risolverla, moltiplichiamo entrambi i membri per $2(x-2)$, imponendo la condizione di esistenza che $x\ne 2$. Otteniamo quindi:

$$2(3x+1)=5(x-2)$$

Sviluppando i prodotti:

$$6x+2=5x-10$$

Raccogliendo i termini con $x$ a sinistra e i termini numerici a destra:

$$x=-12$$

La soluzione $x=-12$ è compatibile con la condizione di esistenza.

4 Radice quadrata

La radice quadrata di un numero $a$ è quel valore non negativo che, elevato al quadrato, restituisce $a$. Essa compare frequentemente nel calcolo delle distanze e nelle relazioni geometriche.

Un esempio classico è il teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo, la lunghezza dell’ipotenusa $c$ in funzione dei cateti $a$ e $b$ è data da:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Ad esempio, con $a=3$ e $b=4$ si ottiene $c=\sqrt{9+16}=5$.

5 Logaritmo

Il logaritmo è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza. Una delle sue proprietà più utili riguarda il logaritmo di un prodotto: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei fattori. Questa proprietà semplifica molti calcoli.

Quella che segue è la proprietà del logaritmo del prodotto in base $b$:

$${\log }_b(x\cdot y)={\log }_b(x)+{\log }_b(y)$$

Ad esempio, ${\log }_2(8)={\log }_2(4)+{\log }_2(2)=2+1=3$.

6 Integrale definito

L’integrale definito calcola l’area della regione di piano compresa tra il grafico di una funzione e l’asse delle ascisse, in un intervallo specificato. I limiti di integrazione indicano gli estremi dell’intervallo.

Quello che segue è l’integrale definito di $x^2$ tra 0 e 3:

$${\int }_0^3{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{27}{3}-0=9$$

Il risultato, 9, rappresenta l’area in unità quadrate sotto la parabola nell’intervallo considerato.

7 Sommatoria

La sommatoria è una notazione compatta per indicare la somma di una sequenza di termini che seguono una legge regolare. Il simbolo $\mathrm{\Sigma }$ è accompagnato dalla variabile di indice, dal suo valore iniziale e dal valore finale.

Quella che segue è la formula della somma dei primi $n$ numeri interi:

$$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$

Con $n=100$ si ottiene $\frac{100\cdot 101}{2}=5050$.

8 Matrice

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri disposti in righe e colonne. Le matrici si usano per rappresentare sistemi di equazioni lineari e trasformazioni geometriche.

Quella che segue è una matrice $3\times 3$:

Ogni elemento è identificato dalla sua posizione: $a_{ij}$ indica l’elemento alla riga $i$ e alla colonna $j$. Ad esempio, nella matrice precedente, $a_{13}=3$ e $a_{31}=5$.

9 Limite e definizione di derivata

Il limite descrive il comportamento di una funzione quando la variabile si avvicina a un certo valore. La derivata prima di una funzione in un punto è definita proprio come il limite del rapporto incrementale.

Quella che segue è la definizione di derivata prima di $f$ nel punto $x_0$:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Ad esempio, per $f(x)=x^2$ si ottiene $f^{\prime }(x)=2x$.

10 Immagine: angoli tra rette

La geometria studia le relazioni tra figure nel piano e nello spazio. Un risultato fondamentale riguarda gli angoli formati da due rette incidenti.

Quando due rette si intersecano, gli angoli opposti al vertice sono uguali tra loro. Si formano quindi due coppie di angoli congruenti.

11 Funzione definita a tratti

Una funzione definita a tratti associa a ogni valore della variabile un’espressione diversa a seconda dell’intervallo in cui quel valore si trova. Un esempio classico è il valore assoluto di $x$.

Quella che segue è la definizione del modulo di $x$:

Ad esempio, $|-3|=3$ e $|5|=5$.

12 Conclusione e link al questionario

Fine della lezione dimostrativa. Grazie per aver partecipato al test. Ti chiediamo gentilmente di compilare un breve questionario al seguente link: Questionario SUS — Valutazione del sistema