1 Matrici quadrate

Lezione 9

1 Matrici quadrate

Abbiamo visto che il prodotto di due matrici non è sempre definito: affinché il prodotto $A B$ sia definito è necessario (e sufficiente) che il numero di colonne della matrice $A$ sia uguale al numero di righe di $B$ . Se ci restringiamo a considerare solo matrici di tipo $n\times n$ , questi problemi scompaiono e il prodotto di due matrici è sempre definito.

Definizione. Una matrice a elementi in $K$ si dice quadrata di ordine $n$ se essa ha $n$ righe e $n$ colonne. L’insieme delle matrici quadrate di ordine $n$ è indicato semplicemente con $M_{n}(K)$ , al posto di $M_{n,n}(K)$ .

Notiamo che l’elemento neutro per l’operazione di somma è la matrice nulla (la matrice i cui elementi sono tutti $0$ )

\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0\end{pmatrix}

mentre l’elemento neutro per l’operazione di prodotto di matrici è la matrice identica, definita da

I=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\end{pmatrix}

cioè la matrice avente tutti gli elementi sulla cosiddetta diagonale principale uguali a $1$ , mentre tutti gli altri elementi sono nulli. Infatti è immediato verificare che, per ogni matrice $A\in M_{n}(K)$ , si ha

I\,A=A\,I=A.

Infine notiamo che il prodotto di matrici non gode della proprietà commutativa: se $A$ e $B$ sono due matrici in $M_{n}(K)$ si ha, in generale,

AB\neq BA.

1.1 Matrici particolari

Una matrice del tipo $\lambda I$ , cioè una matrice in cui tutti gli elementi sulla diagonale principale sono uguali a $\lambda$ mentre tutti gli altri elementi sono $0$

\begin{pmatrix}\lambda&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda\end{pmatrix}

con $\lambda\in K$ , è detta matrice scalare. È immediato verificare che una matrice scalare commuta con ogni altra matrice, cioè

(\lambda I)A=A\,(\lambda I),

per ogni $A\in M_{n}(K)$ .

Più in generale, una matrice del tipo

\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\lambda_{n}\end{pmatrix}

cioè una matrice in cui tutti gli elementi sono nulli, tranne al più quelli sulla diagonale principale, è detta matrice diagonale. Si noti che, in generale, una matrice diagonale non commuta con un’altra matrice qualsiasi. Tuttavia le matrici diagonali commutano tra loro.

Una matrice triangolare superiore è una matrice in cui tutti gli elementi che si trovano al di sotto della diagonale principale sono nulli, cioè una matrice del tipo

\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}&\cdots&a_{1,n}\\ 0&a_{2,2}&a_{2,3}&\cdots&a_{2,n}\\ 0&0&a_{3,3}&\cdots&a_{3,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}

Analogamente si definisce una matrice triangolare inferiore come una matrice in cui tutti gli elementi che si trovano al di sopra della diagonale principale sono nulli, cioè una matrice del tipo

\begin{pmatrix}a_{1,1}&0&0&\cdots&0\\ a_{2,1}&a_{2,2}&0&\cdots&0\\ a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n,1}&a_{n,2}&a_{n,3}&\cdots&a_{n,n}\end{pmatrix}

Si noti che la somma e il prodotto di due matrici triangolari superiori (rispettivamente, inferiori) è ancora una matrice dello stesso tipo.

1.2 Osservazioni sul prodotto di matrici

Consideriamo, a titolo di esempio, il caso di matrici quadrate di ordine $2$ . Siano

A=\begin{pmatrix}2&-1\\ -4&2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&3\\ 2&6\end{pmatrix}.

Si verifica immediatamente che il prodotto $A B$ è la matrice nulla, tuttavia né $A$ né $B$ sono nulle! Ciò mostra che, in generale, nell’anello $M_{n}(K)$ delle matrici quadrate possono esistere degli elementi diversi da zero, con la proprietà che il loro prodotto è uguale a zero (elementi di questo tipo sono detti divisori di zero): non vale quindi la cosiddetta “legge di annullamento del prodotto,” secondo la quale il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo.

Consideriamo ora la matrice

C=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}

La matrice $C$ non è nulla, tuttavia si ha $C^{2}=CC=0$ . Più in generale, si può dimostrare che nell’anello $M_{n}(K)$ esistono delle matrici $C\neq 0$ con la proprietà che $C^{r}=0$ , per qualche $r>1$ . Tali elementi sono detti nilpotenti.

Veniamo ora al problema dell’invertibilità delle matrici di $M_{n}(K)$ . Dato che l’elemento neutro per il prodotto è la matrice identica $I$ , l’inversa di una matrice $A\in M_{n}(K)$ è una matrice $B\in M_{n}(K)$ tale che si abbia

AB=BA=I.

Naturalmente l’esistenza in $M_{n}(K)$ di divisori dello zero impedisce che esistano gli inversi di tutte le matrici non nulle. Infatti, se $A\in M_{n}(K)$ è un divisore dello zero e se $B$ è una matrice non nulla tale che $AB=0$ , allora, se per assurdo esistesse la matrice $A^{-1}$ inversa di $A$ , si avrebbe

B=I\,B=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}\,0=0,

contro l’ipotesi che $B\neq 0$ .

Il sottoinsieme di $M_{n}(K)$ , costituito dalle matrici invertibili, sarà indicato con ${\rm GL}(n,K)$ e detto il gruppo generale lineare di ordine $n$ a elementi in $K$ . Esso è infatti un gruppo (non commutativo), rispetto all’operazione di prodotto tra matrici.

2 Rango di una matrice

Definizione. Il rango (per righe) di una matrice è il numero di righe linearmente indipendenti.

Possiamo anche definire il rango per colonne come il numero di colonne linearmente indipendenti, ma dimostreremo in seguito che il rango per colonne è sempre uguale al rango per righe, pertanto parleremo semplicemente del rango di una matrice.

Descriviamo ora un metodo per determinare il rango di una matrice, noto come eliminazione di Gauss. Questo metodo si basa sull’osservazione che determinate manipolazioni algebriche, quali scambiare tra loro due righe, moltiplicare una riga per una costante diversa da zero, sommare a una riga un multiplo di un’altra, trasformano una matrice in un’altra avente lo stesso rango.

L’idea è dunque quella di utilizzare le operazioni sopra descritte, note anche col nome di operazioni elementari sulle righe, per trasformare una matrice assegnata in matrici via via più semplici, aventi lo stesso rango. Cercheremo ora di descrivere sommariamente come questa idea possa essere effettivamente realizzata.

Sia data una matrice $A=(a_{i,j})$ . Se la prima colonna di $A$ è interamente nulla passiamo alla colonna successiva, altrimenti scegliamo una riga di $A$ in cui il primo elemento sia diverso da zero. Supponiamo si tratti della riga $i$ -esima: si ha dunque $a_{i,1}\neq 0$ . Possiamo quindi dividere questa riga per $a_{i,1}$ e, successivamente, scambiare questa riga con la prima. Si ottiene così una matrice $A^{\prime}=(a^{\prime}_{i,j})$ . Ora, per ogni $i\geq 2$ , sostituiamo la $i$ -esima riga di questa matrice con la somma della riga in questione con la prima riga moltiplicata per $-a^{\prime}_{i,1}$ , ottenendo così una matrice $A^{\prime\prime}$ nella quale gli elementi della prima colonna sono $1$ seguito da tutti zeri:

A^{\prime\prime}=\begin{pmatrix}1&a^{\prime}_{1,2}&\dots&a^{\prime}_{1,n}\\ 0&a^{\prime\prime}_{2,2}&\dots&a^{\prime\prime}_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&a^{\prime\prime}_{m,2}&\dots&a^{\prime\prime}_{m,n}\end{pmatrix}

Ora ripetiamo la procedura appena descritta alla sottomatrice ottenuta cancellando la prima riga e la prima colonna della matrice $A^{\prime\prime}$ .

Alla fine di questo procedimento otterremo una matrice nella cosiddetta forma a scala, cioè in una forma in cui, in ciascuna riga, il primo elemento diverso da zero (nel nostro caso specifico tale elemento è uguale a $1$ ) si trova alla destra del primo elemento non nullo della riga precedente.

È facile verificare che il rango della matrice $A$ è uguale al numero di righe non nulle presenti nella forma a scala di $A$ .

Esempio. Consideriamo la matrice

A=\begin{pmatrix}2&-4&0&-4\\ 3&-6&3&-3\\ 1&-2&-1&-2\end{pmatrix}

Per far comparire un elemento uguale a $1$ nella posizione $(1,1)$ della matrice possiamo operare in tre modi diversi: dividere la prima riga per $2$ , dividere la seconda riga per $3$ e scambiarla con la prima, oppure scambiare tra loro la prima e la terza riga. Scegliamo quest’ultima possibilità, ottenendo la matrice

\begin{pmatrix}1&-2&-1&-2\\ 3&-6&3&-3\\ 2&-4&0&-4\end{pmatrix}

Ora dobbiamo far comparire degli zeri nella prima colonna, al di sotto del primo elemento. Per fare ciò sommiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per $-3$ , e poi sommiamo alla terza riga la prima moltiplicata per $-2$ . Si ottiene così

\begin{pmatrix}1&-2&-1&-2\\ 0&0&6&3\\ 0&0&2&0\end{pmatrix}

Ora ricominciamo dalla seconda riga, dividendola per $6$ in modo tale che il suo primo elemento non nullo sia $1$ .

\begin{pmatrix}1&-2&-1&-2\\ 0&0&1&1/2\\ 0&0&2&0\end{pmatrix}

Alla terza riga sommiamo la seconda moltiplicata per $-2$ , ottenendo la matrice

\begin{pmatrix}1&-2&-1&-2\\ 0&0&1&1/2\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}

Questa matrice è finalmente nella forma che vogliamo, la forma a scala. Dato che ci sono $3$ righe non nulle possiamo concludere che il rango della matrice $A$ è $3$ .