Lezione 8

1 Matrici

Una matrice, con $m$ righe e $n$ colonne (o matrice $m\times n$), a elementi in $K$ è il dato di $mn$ elementi di $K$, scritti solitamente sotto forma di tabella rettangolare costituita da $m$ righe e $n$ colonne:

Una matrice $A$ di questo tipo sarà spesso indicata semplicemente con la scrittura

$$A=\left(a_{i,j}\right),$$

dove $i=1,\mathrm{\dots },m$ è detto indice di riga mentre $j=1,\mathrm{\dots },n$ è detto indice di colonna.

Definizione. Siano $A=(a_{i,j})$ e $B=(b_{i,j})$ due matrici $m\times n$ a elementi in $K$. La loro somma è la matrice

$$A+B=(a_{i,j}+b_{i,j}),$$

ottenuta sommando gli elementi di $A$ e $B$ che si trovano nelle stesse posizioni.

Definizione. Per ogni $\lambda \in K$, il prodotto di $\lambda$ per una matrice $A=(a_{i,j})$ a elementi in $K$ è la matrice

$$\lambda A=(\lambda a_{i,j}).$$

È immediato verificare che queste operazioni definiscono una struttura di spazio vettoriale su $K$ nell’insieme $M_{m,n}(K)$ delle matrici $m\times n$ a elementi in $K$.

In analogia con la definizione della base canonica di $K^n$, definiamo delle matrici $E_{i,j}$, con $i=1,\mathrm{\dots },m$ e $j=1,\mathrm{\dots },n$, i cui elementi sono tutti nulli eccetto quello di posto $(i,j)$ (cioè quello che si trova nella $i$-esima riga e $j$-esima colonna), che è uguale a $1$. È immediato verificare che le $mn$ matrici $E_{i,j}$ appena definite formano una base dello spazio vettoriale $M_{m,n}(K)$. Ciò è conseguenza del fatto che ogni matrice $A=(a_{i,j})$ si scrive, in modo unico, come segue:

$$A=\sum _{i,j}{a}_{i,j}{E}_{i,j}.$$

Definizione. Date due matrici $A\in M_{m,n}(K)$ e $B\in M_{n,r}(K)$, il loro prodotto è la matrice $C\in M_{m,r}(K)$ i cui elementi sono dati da

$$c_{i,j}=\sum _{h=1}^n{a}_{i,h}{b}_{h,j},$$

per ogni $i=1,\mathrm{\dots },m$ e $j=1,\mathrm{\dots },r$. Questo prodotto di matrici è anche detto prodotto righe per colonne.

Vediamo più in dettaglio come si calcola un tale prodotto di matrici. Siano $A$ e $B$ due matrici come sopra e vogliamo determinare il loro prodotto $C=AB$. Per calcolare l’elemento $c_{i,j}$, che si trova nella $i$-esima riga e $j$-esima colonna della matrice $C$, dobbiamo selezionare la $i$-esima riga della matrice $A$ e la $j$-esima colonna della matrice $B$:

$$(a_{i,1},a_{i,2},\mathrm{\dots },a_{i,n})\left(\begin{array}{c}{b}_{1,j}\\ b_{2,j}\\ \mathrm{⋮}\\ b_{n,j}\end{array}\right)$$

dopodiché dobbiamo “moltiplicare” questa riga per questa colonna nel modo indicato nella definizione del prodotto, cioè dobbiamo effettuare la somma dei prodotti componente per componente dei due vettori indicati:

$$c_{i,j}=a_{i,1}{b}_{1,j}+a_{i,2}{b}_{2,j}+\mathrm{\cdots }+a_{i,n}{b}_{n,j}.$$

Osserviamo che per fare ciò è indispensabile che la lunghezza delle righe di $A$ coincida con la lunghezza delle colonne di $B$. La matrice risultante dal prodotto di $A$ per $B$ avrà un numero di righe pari a quello della matrice $A$ e un numero di colonne pari a quello della matrice $B$.

Un caso particolare di prodotto tra matrici si ha quando la matrice $B$ ha una sola colonna, cioè quando $B$ si riduce a un vettore (scritto in colonna): si ottiene in questo modo il prodotto di una matrice per un vettore, il cui risultato è ancora un vettore. Più precisamente, data una matrice $A\in M_{m,n}(K)$ e un vettore $v=(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n)\in K^n$ (che scriveremo in colonna), il prodotto $Av$ è un vettore $w=(y_1,y_2,\mathrm{\dots },y_m)\in K^m$ dato da

In modo del tutto equivalente si può considerare il caso particolare del prodotto di $A$ per $B$, quando la matrice $A$ si riduce a un vettore (questa volta scritto in riga). Consideriamo dunque una matrice $B\in M_{n,r}(K)$ e un vettore $v=(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n)\in K^n$ (che scriveremo in riga). Il prodotto $vB$ è un vettore $w=(y_1,y_2,\mathrm{\dots },y_r)\in K^r$ dato da

1.1 La trasposizione

L’operazione che trasforma una matrice $m\times n$ in una matrice $n\times m$ scambiando tra di loro le righe con le colonne si chiama trasposizione.

Definizione. Sia $A=(a_{i,j})\in M_{m,n}(K)$. La trasposta di $A$ è la matrice $A^T\in M_{n,m}(K)$ il cui elemento di posto $(i,j)$ è $a_{j,i}$, cioè è l’elemento di posto $(j,i)$ della matrice $A$.

Il trasposto di un vettore scritto in colonna è dunque un vettore scritto in riga, e viceversa. Per comodità di notazione, d’ora in poi i vettori di $K^n$ verranno sempre pensati come vettori colonna:

$$v=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \mathrm{⋮}\\ x_n\end{array}\right)$$

Per indicare invece un vettore pensato come vettore riga, scriveremo quindi $v^T$:

$$v^T=(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n).$$

Come ultimo caso particolare del prodotto di due matrici, vediamo cosa succede quando sia $A$ che $B$ si riducono a dei vettori (scritti il primo in riga e il secondo in colonna). In questo caso il risultato del prodotto è uno scalare, cioè un elemento di $K$:

$$(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ \mathrm{⋮}\\ b_n\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{b}_n\in K.$$

Si ottiene in questo modo la definizione di un prodotto tra due vettori di $K^n$, il cui risultato è uno scalare: questo è il cosiddetto prodotto scalare di due vettori.

Definizione. Siano $v=(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n)$ e $w=(y_1,y_2,\mathrm{\dots },y_n)$ due elementi di $K^n$. Il loro prodotto scalare, che indicheremo con $v\cdot w$ (o anche con $⟨v,w⟩$) è definito da

$$v\cdot w=v^{T}w=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i.$$

Vediamo ora alcune proprietà dell’operazione di trasposizione.

Teorema. Siano $A,B\in M_{m,n}(K)$ e sia $\lambda \in K$. Si ha:

1. ${(A^T)}^T=A$;

2. ${(A+B)}^T=A^T+B^T$;

3. ${(\lambda A)}^T=\lambda A^T$.

Se $A\in M_{m,n}(K)$ e $B\in M_{n,r}(K)$, si ha inoltre

1. ${(AB)}^T=B^T{A}^T$.

Dimostrazione. Le prime tre proprietà sono ovvie, dimostriamo quindi la quarta. Indichiamo con $a_{i,j}$ gli elementi di $A$ e con ${\tilde{a}}_{i,j}$ gli elementi di $A^T$: si ha quindi ${\tilde{a}}_{i,j}=a_{j,i}$. Analogamente indichiamo con $b_{i,j}$ e con ${\tilde{b}}_{i,j}$ gli elementi di $B$ e $B^T$, rispettivamente. Indichiamo poi con $c_{i,j}$ gli elementi del prodotto $AB$ e con ${\tilde{c}}_{i,j}$ gli elementi di ${(AB)}^T$. Infine, indichiamo con $d_{i,j}$ gli elementi della matrice $B^T{A}^T$. Ricordando la definizione del prodotto di due matrici, si ha:

$${\tilde{c}}_{i,j}=c_{j,i}=\sum _h{a}_{j,h}{b}_{h,i},$$

mentre

$$d_{i,j}=\sum _h{\tilde{b}}_{i,h}{\tilde{a}}_{h,j}=\sum _h{a}_{j,h}{b}_{h,i},$$

da cui segue che $d_{i,j}={\tilde{c}}_{i,j}$, per ogni $i$ e $j$.

Ritorniamo ora al prodotto di matrici e studiamo più in dettaglio alcune delle sue proprietà.

Teorema. Siano $A$, $B$ e $C$ tre matrici e siano $\lambda ,\mu \in K$. Ogni volta che le somme e i prodotti indicati sono definiti, si ha:

1. $(AB)C=A(BC)$;

2. $(A+B)C=AC+BC$;

3. $A(B+C)=AB+AC$;

4. $\lambda (AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B)$;

5. $(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A$;

6. $(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)$.

Dimostrazione. Tutte queste proprietà si possono dimostrare direttamente mediante un semplice calcolo. A titolo di esempio, dimostriamo la prima.

Indichiamo con $a_{i,j}$ gli elementi della matrice $A$, con $b_{i,j}$ quelli di $B$ e con $c_{i,j}$ gli elementi di $C$. Indichiamo inoltre con $d_{i,j}$ gli elementi della matrice prodotto di $A$ per $B$ e con $e_{i,j}$ quelli del prodotto $(AB)C$. Dalla definizione del prodotto di due matrici si ha:

$$e_{i,j}=\sum _h{d}_{i,h}{c}_{h,j}=\sum _h\left(\sum _k{a}_{i,k}{b}_{k,h}\right)c_{h,j}=\sum _{h,k}{a}_{i,k}{b}_{k,h}{c}_{h,j}.$$

Ora basta osservare che se calcoliamo, in modo analogo, gli elementi del prodotto $A(BC)$, troviamo esattamente la stessa espressione.