Lezione 7

1 Prodotto di spazi vettoriali

La somma diretta di due sottospazi di uno spazio vettoriale $V$, definita in precedenza, è anche detta somma diretta interna. Ora vedremo come sia possibile definire anche la somma diretta di due spazi vettoriali $V$ e $W$ qualunque, in modo tale che $V$ e $W$ si possano poi identificare con due sottospazi vettoriali di $V\oplus W$. Una tale somma è detta somma diretta esterna.

Siano dunque $V$ e $W$ due spazi vettoriali sul campo $K$. Sul prodotto cartesiano $V\times W$ definiamo un’operazione di somma ponendo

$$(v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2),$$

e un’operazione di prodotto per un elemento di $K$ ponendo

$$\lambda (v_1,w_1)=(\lambda v_1,\lambda w_1),$$

per ogni $(v_1,w_1),(v_2,w_2)\in V\times W$ e ogni $\lambda \in K$. È immediato verificare che queste operazioni definiscono una struttura di spazio vettoriale su $V\times W$. Indichiamo con $V\oplus W$ (oppure con $V\times W$) lo spazio vettoriale così ottenuto.

Le due funzioni $i_V:V\to V\oplus W$, $v\mapsto (v,0)$ e $i_W:W\to V\oplus W$, $w\mapsto (0,w)$ sono iniettive e permettono di identificare i due spazi vettoriali $V$ e $W$ con i due sottospazi vettoriali $i_V(V)=V\times \{\mathrm{\hspace{0.17em}0}\}$ e $i_W(W)=\{\mathrm{\hspace{0.17em}0}\}\times W$ di $V\oplus W$. Si verifica facilmente che lo spazio vettoriale $V\oplus W$ appena definito coincide con la somma diretta (interna) dei suoi due sottospazi $i_V(V)$ e $i_W(W)$.

Più in generale, se $V_1,V_2,\mathrm{\dots },V_n$ sono una famiglia finita di spazi vettoriali sul campo $K$ è possibile definire, in modo naturale, una struttura di spazio vettoriale sul prodotto cartesiano $V_1\times V_2\times \mathrm{\cdots }\times V_n$, ponendo

$$(v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n)+(w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_n)=(v_1+w_1,v_2+w_2,\mathrm{\dots },v_n+w_n)$$

e

$$\lambda (v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n)=(\lambda v_1,\lambda v_2,\mathrm{\dots },\lambda v_n),$$

per ogni $\lambda \in K$ e ogni $(v_1,\mathrm{\dots },v_n),(w_1,\mathrm{\dots },w_n)\in V_1\times \mathrm{\cdots }\times V_n$. Ogni $V_i$ si identifica in modo naturale con il sottospazio $V_i^{\prime }$ del prodotto cartesiano $V_1\times \mathrm{\cdots }\times V_n$ che consiste di tutti gli elementi del tipo $(0,\mathrm{\dots },0,v,0,\mathrm{\dots },0)$, al variare di $v\in V_i$ (il vettore $v$ si trova nella $i$-esima posizione). È ora immediato verificare che la somma diretta di tutti questi sottospazi $V_i^{\prime }$ coincide con il prodotto cartesiano $V_1\times \mathrm{\cdots }\times V_n$. Si definisce pertanto la somma diretta esterna della famiglia di spazi vettoriali $V_1,V_2,\mathrm{\dots },V_n$ ponendo

$$\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{V}_i=\prod _{i=1}^n{V}_i.$$

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sul campo $K$, sia $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_r\}$ una base di $V$ e sia $\{w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_s\}$ una base di $W$. Nel prodotto cartesiano $V\times W$ consideriamo le coppie del tipo $(v_i,w_j)$, con $i=1,2,\mathrm{\dots },r$ e $j=1,2,\mathrm{\dots },s$. È immediato verificare che queste coppie formano una base di $V\oplus W=V\times W$. Si conclude pertanto che

$$dim(V\oplus W)=dimV+dimW.$$

In modo del tutto analogo si dimostra che

$$dim\left(\underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}{V}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}dim{V}_i.$$

2 Spazio vettoriale quoziente

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ e sia $W\subset V$ un sottospazio vettoriale. Definiamo una relazione di equivalenza in $V$, che indicheremo con ${\equiv }_W$, ponendo

$$v{\equiv }_W{v}^{\prime }\text{se e solo se}{v}^{\prime }-v\in W.$$

La classe di equivalenza $[v]$ di un vettore $v\in V$ è l’insieme

$$[v]=\{v^{\prime }\in V:v{\equiv }_W{v}^{\prime }\}=\{v+w:w\in W\}=v+W.$$

Tale classe di equivalenza è anche detta la classe laterale di $v$. L’insieme quoziente $V/{\equiv }_W$ sarà indicato con $V/W$. Vedremo ora che $V/W$ ha una struttura naturale di spazio vettoriale su $K$.

Dati due elementi $[v_1],[v_2]\in V/W$, definiamo la loro somma ponendo

$$[v_1]+[v_2]=[v_1+v_2].$$

Naturalmente, affinché questa sia una buona definizione, bisogna verificare che se $[v_1]=[v_1^{\prime }]$ e $[v_2]=[v_2^{\prime }]$, allora è anche $[v_1+v_2]=[v_1^{\prime }+v_2^{\prime }]$.

Dire che $[v_1]=[v_1^{\prime }]$ e $[v_2]=[v_2^{\prime }]$ equivale ad affermare che esistono due vettori $w_1,w_2\in W$ tali che $v_1^{\prime }-v_1=w_1$ e $v_2^{\prime }-v_2=w_2$. Da ciò segue che $(v_1^{\prime }+v_2^{\prime })-(v_1+v_2)=w_1+w_2\in W$, quindi $[v_1+v_2]=[v_1^{\prime }+v_2^{\prime }]$.

Definiamo poi il prodotto di un elemento $\lambda \in K$ per una classe di equivalenza $[v]\in V/W$ ponendo

$$\lambda [v]=[\lambda v].$$

Anche in questo caso è facile controllare che si tratta di una buona definizione, cioè che se $[v]=[v^{\prime }]$ allora si ha $[\lambda v]=[\lambda v^{\prime }]$.

È ora immediato verificare che l’insieme $V/W$, con le due operazioni appena definite, è uno spazio vettoriale sul campo $K$. Esso è detto lo spazio vettoriale quoziente di $V$ modulo il sottospazio $W$.

Per quanto riguarda la dimensione dello spazio vettoriale quoziente, si ha:

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato e sia $W\subset V$ un sottospazio vettoriale. Si ha:

$$dimV/W=dimV-dimW.$$

Dimostrazione. Poniamo $n=dimV$ e $r=dimW$. Sia $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_r$ una base di $W$ e completiamola a una base $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_r,v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-r}$ di $V$. Vogliamo dimostrare che le classi di equivalenza $[v_1],[v_2],\mathrm{\dots },[v_{n-r}]$ formano una base dello spazio quoziente $V/W$.

Iniziamo col dimostrare che esse sono un insieme di generatori. Sia $[v]\in V/W$. Dato che $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_r,v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-r}$ è una base di $V$, il vettore $v$ si può scrivere come combinazione lineare di tali vettori:

$$v={\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_r{w}_r+{\beta }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}{v}_{n-r}.$$

Posto $w={\alpha }_1{w}_1+{\alpha }_2{w}_2+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_r{w}_r$, si ha

$$v-({\beta }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}{v}_{n-r})=w\in W$$

il che significa che ${\beta }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}{v}_{n-r}{\equiv }_{W}v$ e quindi le corrispondenti classi di equivalenza sono uguali, cioè $[{\beta }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}{v}_{n-r}]=[v]$. Ma, in base alla definizione delle operazioni nello spazio quoziente $V/W$, è

$$[{\beta }_1{v}_1+{\beta }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}{v}_{n-r}]={\beta }_1[v_1]+{\beta }_2[v_2]+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}[v_{n-r}]$$

quindi $[v]={\beta }_1[v_1]+{\beta }_2[v_2]+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{n-r}[v_{n-r}]$.

Abbiamo così dimostrato che ogni elemento $[v]\in V/W$ può essere scritto come combinazione lineare delle classi di equivalenza $[v_1],[v_2],\mathrm{\dots },[v_{n-r}]$, quindi queste generano $V/W$.

Ora dobbiamo dimostrare che gli elementi $[v_1],[v_2],\mathrm{\dots },[v_{n-r}]$ di $V/W$ sono linearmente indipendenti. Consideriamo una combinazione lineare

$${\lambda }_1[v_1]+{\lambda }_2[v_2]+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}[v_{n-r}]=[0].$$

Ciò significa che i vettori $0$ e ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}{v}_{n-r}$ definiscono la stessa classe di equivalenza e, pertanto, sono in relazione tra loro:

$$0{\equiv }_W{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}{v}_{n-r}.$$

In base alla definizione della relazione di equivalenza, ciò equivale a dire che ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}{v}_{n-r}-0\in W$ e quindi il vettore ${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}{v}_{n-r}$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base di $W$:

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}{v}_{n-r}={\mu }_1{w}_1+{\mu }_2{w}_2+\mathrm{\cdots }+{\mu }_r{w}_r.$$

Da questa uguaglianza si deduce che ${\mu }_1{w}_1+\mathrm{\cdots }+{\mu }_r{w}_r-{\lambda }_1{v}_1-\mathrm{\cdots }-{\lambda }_{n-r}{v}_{n-r}=0$ ma, siccome i vettori $w_1,\mathrm{\dots },w_r,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-r}$ formano una base di $V$, da ciò segue che tutti i coefficienti ${\mu }_1,\mathrm{\dots },{\mu }_r,{\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_{n-r}$ devono essere nulli. Abbiamo così dimostrato che da ${\lambda }_1[v_1]+{\lambda }_2[v_2]+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-r}[v_{n-r}]=[0]$ segue che ${\lambda }_1={\lambda }_2=\mathrm{\cdots }={\lambda }_{n-r}=0$ e dunque gli elementi $[v_1],[v_2],\mathrm{\dots },[v_{n-r}]$ sono linearmente indipendenti.

Ora che sappiamo che $[v_1],[v_2],\mathrm{\dots },[v_{n-r}]$ formano una base di $V/W$, possiamo concludere che $dimV/W=n-r=dimV-dimW$.