Lezione 6

1 Sottospazi vettoriali, basi, dimensione

Descriviamo ora altre conseguenze del teorema dello scambio.

Corollario. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato. Allora ogni sottospazio vettoriale $W$ di $V$ è finitamente generato e si ha $dimW\le dimV$.

Dimostrazione. Poniamo $n=dimV$. Se $\{w_1,\mathrm{\dots },w_r\}$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti di $W$, essi sono anche dei vettori linearmente indipendenti di $V$; deve quindi essere $r\le n$. Se questi vettori non sono un insieme di generatori di $W$, ciò significa che esiste un vettore $w_{r+1}\in W$ che non può essere espresso come combinazione lineare di $w_1,\mathrm{\dots },w_r$. Da ciò segue che i vettori $w_1,\mathrm{\dots },w_r,w_{r+1}$ sono linearmente indipendenti. Se essi non sono ancora un insieme di generatori di $W$, deve esistere un vettore $w_{r+2}\in W$ che non può essere espresso come combinazione lineare di $w_1,\mathrm{\dots },w_r,w_{r+1}$. Ma allora anche i vettori $w_1,\mathrm{\dots },w_r,w_{r+1},w_{r+2}$ sono linearmente indipendenti.

Poiché il numero di vettori linearmente indipendenti non può eccedere $n$, ripetendo il ragionamento precedente si arriva, dopo un numero finito di passi, a costruire un insieme di vettori linearmente indipendenti $\{w_1,\mathrm{\dots },w_s\}$, con $s\le n$, i quali generano il sottospazio $W$ e sono quindi una base di $W$. Ciò dimostra che $dimW\le dimV$.

Corollario. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato. Allora ogni insieme di vettori linearmente indipendenti $v_1,\mathrm{\dots },v_r$ può essere completato a una base di $V$. In altri termini, esistono dei vettori $v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n$ tali che l’insieme $\{v_1,\mathrm{\dots },v_r,v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n\}$ sia una base di $V$. Inoltre i vettori $v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n$ possono sempre essere scelti tra i vettori di una qualunque base fissata di $V$.

Dimostrazione. La dimostrazione di questo risultato è essenzialmente analoga a quella del corollario precedente. Fissiamo una base $\{u_1,\mathrm{\dots },u_n\}$ di $V$ e supponiamo che $v_1,\mathrm{\dots },v_r\in V$ siano dei vettori linearmente indipendenti. Se i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_r$ sono un insieme di generatori di $V$ allora essi sono già una base di $V$ (e in questo caso è $r=n$).

Supponiamo quindi che $v_1,\mathrm{\dots },v_r$ non siano un insieme di generatori di $V$. Ciò significa che esiste un vettore $u_i$ della base fissata di $V$ che non può essere espresso come combinazione lineare di $v_1,\mathrm{\dots },v_r$. Infatti se, per assurdo, tutti i vettori $u_1,u_2,\mathrm{\dots },u_n$ si potessero scrivere come combinazione lineare dei vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_r$, allora dal fatto che ogni vettore $v\in V$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base $u_1,\mathrm{\dots },u_n$ ne seguirebbe che ogni vettore di $V$ si potrebbe anche scrivere come combinazione lineare dei vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_r$, i quali sarebbero pertanto un sistema di generatori di $V$, contro l’ipotesi.

Poniamo allora $v_{r+1}=u_i$. Da quanto appena detto segue che $v_1,\mathrm{\dots },v_r,v_{r+1}$ sono linearmente indipendenti. Se essi sono un insieme di generatori di $V$ allora sono una base e abbiamo terminato, altrimenti possiamo ripetere il ragionamento appena fatto. In tal caso deve esistere un vettore $u_j$ della base fissata di $V$ che non può essere espresso come combinazione lineare di $v_1,\mathrm{\dots },v_r,v_{r+1}$. Poniamo quindi $v_{r+2}=u_j$. Come in precedenza, si ha che i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_r,v_{r+1},v_{r+2}$ sono linearmente indipendenti. Continuando in questo modo, si deve necessariamente ottenere un insieme di vettori linearmente indipendenti $\{v_1,\mathrm{\dots },v_r,v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n\}$ che sono anche un insieme di generatori di $V$, altrimenti si otterrebbe un insieme infinito di vettori linearmente indipendenti, contro l’ipotesi che $V$ sia finitamente generato.

Se la dimensione di uno spazio vettoriale $V$ è nota, la verifica che un determinato insieme di vettori di $V$ forma una base risulta semplificata. Vale infatti il seguente risultato:

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ e siano $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ dei vettori di $V$.

1. Se i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti, allora essi sono anche un sistema di generatori di $V$, quindi sono una base di $V$.

2. Se i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ sono un sistema di generatori di $V$, allora essi sono anche linearmente indipendenti, quindi sono una base di $V$.

Dimostrazione. (1) Supponiamo che i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ siano linearmente indipendenti. Per il corollario precedente, essi sono contenuti in una base

$$\{v_1,\mathrm{\dots },v_n,v_{n+1},\mathrm{\dots },v_{n+r}\}$$

di $V$. Ma, poiché $V$ ha dimensione $n$, ogni base di $V$ deve avere $n$ elementi. Da ciò si deduce che $r=0$ e quindi i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ sono, in effetti, una base di $V$.

(2) Supponiamo che i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ siano un insieme di generatori di $V$. Se, per assurdo, essi fossero linearmente dipendenti, uno di essi sarebbe combinazione lineare dei rimanenti. A meno di riordinare i vettori, non è restrittivo supporre che $v_n$ sia combinazione lineare di $v_1,\mathrm{\dots },v_{n-1}$. Ma allora i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_{n-1}$ sarebbero anch’essi un insieme di generatori di $V$. Questo però è assurdo; infatti la cardinalità di un insieme di generatori di $V$ deve essere $\ge dimV$. Quindi i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti, cioè sono una base di $V$.

1.1 Formula di Grassmann

Terminiamo questa lezione dimostrando un risultato che mette in relazione le dimensioni di due sottospazi vettoriali di $V$ con le dimensioni della loro somma e della loro intersezione:

Teorema (formula di Grassmann). Siano $W_1$ e $W_2$ due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale finitamente generato $V$. Si ha:

$$dim(W_1+W_2)=dim{W}_1+dim{W}_2-dim(W_1\cap W_2).$$

Dimostrazione. Poniamo

$$r=dim{W}_1,s=dim{W}_2,t=dim(W_1\cap W_2).$$

Consideriamo una base $\{v_1,\mathrm{\dots },v_t\}$ di $W_1\cap W_2$. Questo insieme di vettori può essere completato, tramite aggiunta di altri vettori, in modo da ottenere una base $\{v_1,\mathrm{\dots },v_t,v_{t+1},\mathrm{\dots },v_r\}$ di $W_1$ e una base $\{v_1,\mathrm{\dots },v_t,v_{t+1}^{\prime },\mathrm{\dots },v_s^{\prime }\}$ di $W_2$.

Dato che ogni vettore di $W_1+W_2$ può essere scritto come somma di un vettore di $W_1$ e di uno di $W_2$, esso può quindi essere espresso come combinazione lineare dei vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_t,v_{t+1},\mathrm{\dots },v_r,v_{t+1}^{\prime },\mathrm{\dots },v_s^{\prime }$. Vogliamo ora dimostrare che questi vettori, oltre a essere dei generatori di $W_1+W_2$, sono anche linearmente indipendenti.

Supponiamo quindi che sia

$${\alpha }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_t{v}_t+{\beta }_1{v}_{t+1}+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{r-t}{v}_r+{\gamma }_1{v}_{t+1}^{\prime }+\mathrm{\cdots }+{\gamma }_{s-t}{v}_s^{\prime }=0.$$

Da ciò segue che

$${\alpha }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_t{v}_t+{\beta }_1{v}_{t+1}+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{r-t}{v}_r=-({\gamma }_1{v}_{t+1}^{\prime }+\mathrm{\cdots }+{\gamma }_{s-t}{v}_s^{\prime }).$$

Se chiamiamo $w$ il vettore precedente, si ha che $w\in W_1\cap W_2$. Poiché $\{v_1,\mathrm{\dots },v_t\}$ è una base di $W_1\cap W_2$, il vettore $w$ si può scrivere, in modo unico, nella forma

$$w={\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_t{v}_t.$$

Si hanno quindi le seguenti uguaglianze:

$${\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_t{v}_t={\alpha }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_t{v}_t+{\beta }_1{v}_{t+1}+\mathrm{\cdots }+{\beta }_{r-t}{v}_r$$

e

$${\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_t{v}_t=-({\gamma }_1{v}_{t+1}^{\prime }+\mathrm{\cdots }+{\gamma }_{s-t}{v}_s^{\prime }).$$

Poiché, per ipotesi, i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_t,v_{t+1},\mathrm{\dots },v_r$ sono una base di $W_1$ e i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_t,v_{t+1}^{\prime },\mathrm{\dots },v_s^{\prime }$ sono una base di $W_2$, dalle uguaglianze precedenti segue che

Abbiamo così dimostrato che l’insieme dei vettori

$$\{v_1,\mathrm{\dots },v_t,v_{t+1},\mathrm{\dots },v_r,v_{t+1}^{\prime },\mathrm{\dots },v_s^{\prime }\}$$

è una base di $W_1+W_2$. Si ha pertanto

$$dim(W_1+W_2)=r+s-t=dim{W}_1+dim{W}_2-dim(W_1\cap W_2).$$

Osservazione. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato. Notiamo che, per ogni sottospazio $W\subseteq V$, è possibile trovare un sottospazio $W^{\prime }$ di $V$ tale che $V=W\oplus W^{\prime }$, cioè tale che si abbia $V=W+W^{\prime }$ e $W\cap W^{\prime }=\{0\}$. Un tale $W^{\prime }$ è detto un sottospazio complementare di $W$.

A tal fine, è sufficiente considerare una base $\{w_1,\mathrm{\dots },w_r\}$ di $W$ e completarla a una base $\{w_1,\mathrm{\dots },w_r,v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n\}$ di $V$. Il sottospazio $W^{\prime }=⟨v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n⟩$, generato dai vettori $v_{r+1},\mathrm{\dots },v_n$, è il sottospazio cercato.

Notiamo infine che un tale sottospazio $W^{\prime }$ non è unico. Ad esempio, se $V=K^2$ e se $W$ è il sottospazio generato dal vettore $(1,0)$, qualunque vettore $(a,b)$, con $b\ne 0$, genera un sottospazio $W^{\prime }$ tale che $V=W\oplus W^{\prime }$.