Lezione 5

1 Sottospazi vettoriali, basi, dimensione

In generale, la scrittura di un vettore $v$ come combinazione lineare di altri vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ non è unica. Tuttavia se $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti, tale scrittura è unica.

Teorema. Siano $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\in V$ dei vettori linearmente indipendenti. Se $v\in V$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$,

$$v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n,$$

allora gli scalari ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ sono determinati in modo unico.

Dimostrazione. Supponiamo che sia possibile scrivere $v$ in due modi, come

$$v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n,$$

e come

$$v={\mu }_1{v}_1+{\mu }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\mu }_n{v}_n.$$

Allora si ha

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n={\mu }_1{v}_1+{\mu }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\mu }_n{v}_n,$$

che si può riscrivere come

$$({\lambda }_1-{\mu }_1)v_1+({\lambda }_2-{\mu }_2)v_2+\mathrm{\cdots }+({\lambda }_n-{\mu }_n)v_n=0.$$

Poiché i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti, si ha dunque

$${\lambda }_1-{\mu }_1=0,{\lambda }_2-{\mu }_2=0,\mathrm{\dots },{\lambda }_n-{\mu }_n=0,$$

il che dimostra che ${\lambda }_i={\mu }_i$, per ogni $i=1,\mathrm{\dots },n$.

Dal risultato appena dimostrato discende quindi che, se consideriamo un insieme di generatori $S$ di $V$ con la proprietà aggiuntiva che i vettori di $S$ siano linearmente indipendenti, allora ogni vettore di $V$ si può scrivere, in modo unico, come combinazione lineare finita di elementi di $S$.

Definizione. Un insieme libero di generatori di uno spazio vettoriale $V$ è detto una base di $V$. In altri termini, una base di $V$ è un insieme di vettori linearmente indipendenti i quali generano l’intero spazio $V$.

Osservazione. Solitamente una base di uno spazio vettoriale $V$ viene intesa come un insieme ordinato di generatori linearmente indipendenti di $V$. Ciò significa, ad esempio, che se l’insieme costituito dai vettori $v_1$ e $v_2$ è una base di uno spazio vettoriale $V$, allora $𝐯=\{v_1,v_2\}$ e ${𝐯}^{\prime }=\{v_2,v_1\}$ sono due basi diverse di $V$.

Da quanto visto in precedenza, si deduce il seguente risultato:

Corollario. Sia $S$ una base di $V$. Ogni vettore $v\in V$ si può scrivere, in modo unico, come combinazione lineare finita di elementi di $S$.

Supponiamo che $S=\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ sia una base di uno spazio vettoriale $V$. Allora, per ogni $v\in V$, si ha

$$v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n,$$

e gli scalari ${\lambda }_i\in K$ sono univocamente determinati da $v$. Tali scalari sono anche detti le coordinate del vettore $v$ rispetto alla base $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ fissata.

1.1 Spazi vettoriali finitamente generati

Definizione. Uno spazio vettoriale $V$ è detto finitamente generato se esiste un insieme finito di generatori di $V$.

Cominciamo col dimostrare che ogni spazio vettoriale $V$ finitamente generato ammette una base. Più precisamente, dimostreremo che da ogni insieme finito di generatori di $V$ si può estrarre una base.

Teorema. Sia $S=\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ un insieme di generatori di $V$. Allora $S$ contiene dei vettori $v_{i_1},v_{i_2},\mathrm{\dots },v_{i_r}$, per qualche $r\le n$, che formano una base di $V$.

Dimostrazione. Se i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti, essi sono una base di $V$ e la dimostrazione è così terminata. Se invece essi sono linearmente dipendenti, uno di essi può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti. A meno di rinominarli, possiamo supporre che questo vettore sia $v_n$. Possiamo quindi scrivere

$$v_n={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-1}{v}_{n-1}.$$

Da ciò segue che i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-1}$ generano lo spazio vettoriale $V$; infatti ogni vettore che si scrive come combinazione lineare di $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ si può anche scrivere come combinazione lineare dei soli vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-1}$. Ora, se i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-1}$ sono linearmente indipendenti, essi sono una base di $V$ e la dimostrazione è terminata. In caso contrario uno di essi può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti. Anche in questo caso, a meno di riordinare i vettori, possiamo supporre che sia $v_{n-1}$ a potersi scrivere come combinazione lineare dei vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-2}$. Ma ciò significa che i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_{n-2}$ sono un insieme di generatori di $V$.

Ripetendo il ragionamento sopra descritto si arriverà, prima o poi, a un insieme di vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_r$, per qualche $r\le n$, che generano tutto lo spazio $V$ e sono linearmente indipendenti. Essi costituiscono quindi una base di $V$.

Il seguente risultato, noto anche come Lemma di Steinitz o Teorema dello scambio, chiarisce le relazioni che esistono tra insiemi di vettori linearmente indipendenti, basi e insiemi di generatori.

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato e sia $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ un insieme di generatori di $V$. Se $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_r$ sono vettori linearmente indipendenti, allora $r\le n$.

Dimostrazione. Poiché i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ generano $V$, il vettore $w_1$ si può scrivere come una loro combinazione lineare,

$$w_1={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n.$$

Dato che $w_1\ne 0$, gli scalari ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ non possono essere tutti nulli, quindi esiste un indice $i$ tale che ${\lambda }_i\ne 0$. Da ciò si deduce che il vettore $v_i$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori $w_1,v_1,\mathrm{\dots },v_{i-1},v_{i+1},\mathrm{\dots },v_n$.

A meno di rinominare i vettori $v_j$, possiamo supporre che sia $i=n$, cioè che $v_n$ si possa scrivere come combinazione lineare dei vettori $w_1,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-1}$; ma ciò significa che anche $\{w_1,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-1}\}$ è un insieme di generatori di $V$. Il vettore $w_2$ si può quindi scrivere come combinazione lineare dei vettori $w_1,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-1}$:

$$w_2={\alpha }_1{w}_1+{\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n-1}{v}_{n-1},$$

e gli scalari ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_{n-1}$ non possono essere tutti nulli, perché altrimenti i vettori $w_1$ e $w_2$ sarebbero linearmente dipendenti, contro l’ipotesi.

Esiste quindi un indice $i$ per il quale ${\lambda }_i\ne 0$ e, ancora una volta, possiamo supporre che sia $i=n-1$ (a meno di riordinare i vettori $v_j$). Da ciò segue che il vettore $v_{n-1}$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori $w_1,w_2,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-2}$, quindi anche $\{w_1,w_2,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-2}\}$ è un insieme di generatori di $V$.

Continuando in questo modo, si dimostra che tutti gli insiemi

$$\{w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_h,v_1,\mathrm{\dots },v_{n-h}\}$$

sono insiemi di generatori di $V$.

Se, per assurdo, fosse , ponendo $h=n$ si avrebbe che i vettori $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_n$ generano tutto lo spazio $V$, quindi il vettore $w_{n+1}$ si potrebbe scrivere come combinazione lineare dei vettori $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_n$, il che contraddice l’ipotesi che i vettori $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_r$ siano linearmente indipendenti. Deve quindi essere $r\le n$.

Corollario. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato e sia $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ una base di $V$. Allora, per ogni insieme $\{w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_r\}$ di vettori linearmente indipendenti si ha $r\le n$ e, per ogni insieme $\{u_1,u_2,\mathrm{\dots },u_s\}$ di generatori di $V$, si ha $s\ge n$.

Dimostrazione. Questo risultato è una conseguenza immediata del teorema precedente; basta ricordare che i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti e sono anche un insieme di generatori di $V$.

Corollario. Due basi qualunque di uno spazio vettoriale $V$ (finitamente generato) hanno lo stesso numero di elementi.

Dimostrazione. Siano $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_r\}$ e $\{w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_s\}$ due basi di $V$. Allora, dato che i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_r$ sono linearmente indipendenti e $w_1,w_2,\mathrm{\dots },w_s$ sono dei generatori di $V$, si ha $r\le s$. Scambiando il ruolo delle due basi, si ottiene anche $s\le r$, da cui segue l’uguaglianza $r=s$.

Il numero di vettori che compongono una base di uno spazio vettoriale finitamente generato $V$ è dunque indipendente dalla base scelta e dipende quindi solo dallo spazio $V$. Possiamo pertanto dare la seguente definizione:

Definizione. La dimensione di uno spazio vettoriale (finitamente generato) $V$, indicata con $dimV$, è il numero di elementi di una base di $V$.

Esempio. Consideriamo lo spazio vettoriale $V=K^n$. Per ogni $i=1,\mathrm{\dots },n$, indichiamo con $e_i$ la $n$-upla di elementi di $K$ le cui componenti sono tutte nulle tranne la $i$-esima, che è uguale a $1$:

$e_1$ $=(1,0,0,0,\mathrm{\dots },0,0),$

$e_2$ $=(0,1,0,0,\mathrm{\dots },0,0),$

$e_3$ $=(0,0,1,0,\mathrm{\dots },0,0),$

$\cdot$ $\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$

$e_n$ $=(0,0,0,0,\mathrm{\dots },0,1).$

Notiamo che, per ogni ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n\in K$, si ha

$${\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{e}_n=({\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n).$$

Da questa uguaglianza si deduce che i vettori $e_1,e_2,\mathrm{\dots },e_n$ sono linearmente indipendenti e generano lo spazio vettoriale $V$; essi sono pertanto una base di $V=K^n$. Questa base è detta la base canonica di $K^n$. Si ha pertanto $dim{K}^n=n$.