Lezione 4

1 Sottospazi vettoriali

Definizione. Sia $S$ un sottoinsieme di uno spazio vettoriale $V$. Il sottospazio vettoriale generato da $S$, che indicheremo con $L(S)$ oppure con $⟨S⟩$, è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $S$ (se $S$ è vuoto si ha $L(S)=\{\mathrm{\hspace{0.17em}0}\}$).

Dato che l’intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali di $V$ è un sottospazio vettoriale di $V$, è immediato verificare che il sottospazio $L(S)$ generato da $S$ coincide con l’intersezione di tutti i sottospazi vettoriali di $V$ che contengono $S$.

Un’altra descrizione, ancora più esplicita, di $L(S)$ è data dal seguente risultato.

Teorema. Il sottospazio vettoriale $L(S)$ generato da $S$ è l’insieme di tutte le combinazioni lineari finite di elementi di $S$, cioè

$$L(S)=\{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i:n\in \mathbb{N},{\lambda }_i\in K,v_i\in S\},$$

dove si intende che la combinazione lineare di zero elementi di $S$ è il vettore nullo.

Dimostrazione. Poniamo

$$\mathrm{\Lambda }(S)=\{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i:n\in \mathbb{N},{\lambda }_i\in K,v_i\in S\}.$$

Ovviamente $S\subseteq \mathrm{\Lambda }(S)$. Notiamo che ogni sottospazio vettoriale di $V$ contenente $S$ contiene anche tutte le combinazioni lineari finite di elementi di $S$, quindi contiene $\mathrm{\Lambda }(S)$. Da ciò segue che $\mathrm{\Lambda }(S)$ è contenuto nell’intersezione di tutti i sottospazi vettoriali di $V$ che contengono $S$, quindi $\mathrm{\Lambda }(S)\subseteq L(S)$.

D’altra parte è evidente che $\mathrm{\Lambda }(S)$ è anch’esso un sottospazio vettoriale di $V$: infatti la combinazione lineare di due combinazioni lineari finite di elementi di $S$ è essa stessa una combinazione lineare finita di elementi di $S$. Poiché $L(S)$ è il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $S$, si ha dunque $L(S)\subseteq \mathrm{\Lambda }(S)$, da cui segue che $L(S)=\mathrm{\Lambda }(S)$.

1.1 Somma di sottospazi vettoriali

Come abbiamo già osservato, nel contesto degli spazi vettoriali l’operazione di unione di due sottospazi non ha delle buone proprietà: infatti l’unione di due sottospazi vettoriali non è, in generale, un sottospazio vettoriale. Tale operazione viene quindi sostituita dall’operazione di somma:

Definizione. Se $W_1$ e $W_2$ sono sottospazi vettoriali di $V$, la loro somma $W_1+W_2$ è il sottospazio vettoriale $L(W_1\cup W_2)$ generato da $W_1\cup W_2$. Tale definizione si generalizza, in modo ovvio, al caso della somma di una famiglia qualsiasi (anche infinita) di sottospazi di $V$.

Una descrizione esplicita della somma di due sottospazi vettoriali è fornita dal risultato seguente:

Teorema. Si ha

$$W_1+W_2=\{w_1+w_2:w_1\in W_1,w_2\in W_2\}.$$

Dimostrazione. È immediato verificare che l’insieme

$$\{w_1+w_2:w_1\in W_1,w_2\in W_2\}$$

è un sottospazio vettoriale di $V$ che contiene $W_1$ e $W_2$, quindi contiene anche la loro unione. Poiché $W_1+W_2$ è, per definizione, il più piccolo sottospazio vettoriale di $V$ contenente $W_1\cup W_2$, si ha l’inclusione

$$W_1+W_2\subseteq \{w_1+w_2:w_1\in W_1,w_2\in W_2\}.$$

D’altra parte, ogni vettore del tipo $w_1+w_2$ appartiene necessariamente a $W_1+W_2$. Questo dimostra che vale anche l’inclusione opposta e quindi l’uguaglianza.

Un risultato del tutto analogo vale anche per la somma di una famiglia finita di sottospazi vettoriali di $V$. Si ha cioè

$$W_1+\mathrm{\cdots }+W_n=\{w_1+\mathrm{\cdots }+w_n:w_i\in W_i,\text{per }i=1,\mathrm{\dots },n\}.$$

Nel caso invece di una famiglia infinita ${\{W_i\}}_{i\in I}$ di sottospazi vettoriali, è facile verificare che la somma

$$\sum _{i\in I}{W}_i$$

coincide con l’insieme di tutte le somme finite di vettori $w_i\in W_i$.

Definizione. La somma di due sottospazi vettoriali $W_1$ e $W_2$ di $V$ si dice diretta, e si indica con $W_1\oplus W_2$, se l’intersezione dei due sottospazi vettoriali contiene solo il vettore nullo, cioè se $W_1\cap W_2=\{\mathrm{\hspace{0.17em}0}\}$.

Un’importante caratterizzazione della somma diretta di due sottospazi vettoriali è data dal seguente risultato:

Teorema. Ogni vettore $v$ appartenente alla somma diretta di $W_1$ e $W_2$ si scrive in modo unico nella forma $v=w_1+w_2$, per qualche $w_1\in W_1$ e qualche $w_2\in W_2$.

Dimostrazione. Nel teorema precedente abbiamo visto che ogni $v$ appartenente alla somma diretta di $W_1$ e $W_2$ si può scrivere nella forma $v=w_1+w_2$, per qualche $w_1\in W_1$ e qualche $w_2\in W_2$. Dobbiamo solo dimostrare che tale scrittura è unica.

Supponiamo che si abbia

$$v=w_1+w_2=w_1^{\prime }+w_2^{\prime },$$

con $w_1,w_1^{\prime }\in W_1$ e $w_2,w_2^{\prime }\in W_2$. Allora si ha

$$w_1-w_1^{\prime }=w_2^{\prime }-w_2\in W_1\cap W_2.$$

Poiché la somma di $W_1$ e $W_2$ è diretta la loro intersezione contiene solo il vettore nullo, quindi $w_1-w_1^{\prime }=w_2^{\prime }-w_2=0$, da cui si deduce che $w_1=w_1^{\prime }$ e $w_2=w_2^{\prime }$.

Prendendo spunto da questo risultato diremo che la somma di $n$ sottospazi vettoriali $W_1$, $W_2$, …, $W_n$ è diretta se ogni vettore $v$ di questa somma si può scrivere in modo unico come somma

$$v=w_1+w_2+\mathrm{\cdots }+w_n,$$

con $w_i\in W_i$, per $i=1,\mathrm{\dots },n$.

2 Insiemi di generatori e basi

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$.

Definizione. Un sottoinsieme $S\subseteq V$ è detto un insieme di generatori di $V$ se $L(S)=V$. In tal caso si dice anche che $S$ genera $V$.

Notiamo che ogni spazio vettoriale possiede dei sistemi di generatori: l’intero spazio $V$ è banalmente un insieme di generatori di $V$.

Se $S$ è un insieme di generatori di $V$, ogni vettore $v\in V$ si può scrivere come combinazione lineare finita di elementi di $S$:

$$v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n,$$

per qualche $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in S$ e ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n\in K$. Una tale espressione non è però, in generale, unica.

Definizione. Un sottoinsieme $S\subseteq V$ è detto un insieme libero di vettori se esso ha la seguente proprietà: una combinazione lineare finita di elementi di $S$ è il vettore nullo se e solo se tutti i coefficienti ${\lambda }_i$ sono nulli. Cioè

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n=0$$

con $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in S$, implica ${\lambda }_1={\lambda }_2=\mathrm{\cdots }={\lambda }_n=0$.

Se $S=\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ è un insieme libero, diremo anche che i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente indipendenti.

Quindi i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\in V$ sono linearmente indipendenti se e solo se l’equazione

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n=0$$

ha come unica soluzione ${\lambda }_1={\lambda }_2=\mathrm{\cdots }={\lambda }_n=0$.

Definizione. I vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\in V$ si dicono linearmente dipendenti se essi non sono linearmente indipendenti, cioè se esistono degli scalari ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n\in K$, non tutti nulli, per cui si abbia

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n=0.$$

Teorema. I vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\in V$ sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi può essere espresso come combinazione lineare dei rimanenti, cioè se e solo se esiste un indice $i$ tale che si abbia

$$v_i=\sum _{j=1,j\ne i}^n{\alpha }_j{v}_j,$$

con ${\alpha }_j\in K$.

Dimostrazione. Se i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente dipendenti, esiste una combinazione lineare

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n=0$$

in cui i coefficienti ${\lambda }_j$ non sono tutti nulli. Sia dunque $i$ un indice tale che ${\lambda }_i\ne 0$. Possiamo quindi scrivere

$${\lambda }_i{v}_i=-{\lambda }_1{v}_1-\mathrm{\cdots }-{\lambda }_{i-1}{v}_{i-1}-{\lambda }_{i+1}{v}_{i+1}-\mathrm{\cdots }-{\lambda }_n{v}_n,$$

da cui si ricava

$$v_i=-\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_i}{v}_1-\mathrm{\cdots }-\frac{{\lambda }_{i-1}}{{\lambda }_i}{v}_{i-1}-\frac{{\lambda }_{i+1}}{{\lambda }_i}{v}_{i+1}-\mathrm{\cdots }-\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_i}{v}_n.$$

Viceversa, supponiamo che un vettore $v_i$ sia combinazione lineare dei rimanenti, cioè che si abbia

$$v_i={\alpha }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_{i-1}{v}_{i-1}+{\alpha }_{i+1}{v}_{i+1}+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_n{v}_n.$$

Allora si ha

$${\alpha }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_{i-1}{v}_{i-1}-v_i+{\alpha }_{i+1}{v}_{i+1}+\mathrm{\cdots }+{\alpha }_n{v}_n=0,$$

il che dimostra che i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_n$ sono linearmente dipendenti.