1 Spazi affini euclidei

Lezione 42

1 Spazi affini euclidei

1.1 Angoli

Parliamo ora del concetto di angolo in uno spazio affine euclideo. La presenza di una forma bilineare simmetrica definita positiva su uno spazio vettoriale reale $V$ permette di definire la nozione di angolo compreso tra due vettori non nulli di $V$ . Le stesse considerazioni si applicano quindi al caso di uno spazio affine euclideo. Utilizzando la nozione di angolo compreso tra due vettori è poi possibile definire l’angolo compreso tra due rette incidenti.

Figura che mostra due rette incidenti r e s. Le due rette formano quattro angoli, uguali a due a due

Siano dunque $r$ e $s$ due rette incidenti in uno spazio affine euclideo $\mathbb{A}$ e indichiamo con $v_{r}$ e $v_{s}$ rispettivamente due generatori dei sottospazi direttori di $r$ e $s$ .

Si noti che i vettori $v_{r}$ e $v_{s}$ sono determinati a meno della moltiplicazione per uno scalare non nullo. Ricordiamo ora che il coseno dell’angolo $\alpha$ compreso tra $v_{r}$ e $v_{s}$ è dato dal rapporto

\frac{v_{r}\cdot v_{s}}{\|v_{r}\|\|v_{s}\|}

Sostituendo $v_{r}$ e $v_{s}$ con i vettori $\lambda v_{r}$ e $\mu v_{s}$ , con $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ , $\lambda,\mu\neq 0$ , il rapporto precedente diventa

\frac{\lambda v_{r}\cdot\mu v_{s}}{|\lambda|\|v_{r}\||\mu|\|v_{s}\|}=\pm\frac{% v_{r}\cdot v_{s}}{\|v_{r}\|\|v_{s}\|}

ove il segno dipende dal segno del prodotto $\lambda\mu$ . In altri termini, ciò significa che, date due rette $r$ e $s$ , il rapporto precedente è ben definito solo a meno del segno. Ciò corrisponde al fatto che, se indichiamo con $\alpha$ l’angolo compreso tra i vettori $v_{r}$ e $v_{s}$ , allora l’angolo compreso tra $v_{r}$ e $-v_{s}$ , oppure tra $-v_{r}$ e $v_{s}$ è $\beta=\pi-\alpha$ , come illustrato nella figura precedente.

Fatte queste premesse, possiamo dare la seguente definizione:

Definizione. Con le notazioni precedenti, chiameremo angolo compreso tra le due rette incidenti $r$ e $s$ quello, tra i due angoli $\alpha$ e $\beta=\pi-\alpha$ , che risulta compreso nell’intervallo $[0,\pi/2]$ .

La definizione appena data può essere generalizzata al caso dell’angolo compreso tra una retta $r$ e una sottovarietà lineare $\mathbb{L}$ , di dimensione $\geq 1$ , ad essa incidente.

Sia dunque $\mathbb{L}$ una sottovarietà lineare di dimensione $\geq 1$ di uno spazio affine euclideo $\mathbb{A}$ e indichiamo con $\pi_{\mathbb{L}}\colon\mathbb{A}\to\mathbb{L}$ la proiezione ortogonale su $\mathbb{L}$ . Data una retta $r$ incidente a $\mathbb{L}$ , indichiamo con $r^{\prime}=\pi_{\mathbb{L}}(r)$ la sua proiezione ortogonale su $\mathbb{L}$ . Se la retta $r$ è ortogonale a $\mathbb{L}$ , $r^{\prime}$ è un punto, il quale è precisamente il punto di intersezione tra $r$ e $\mathbb{L}$ ; in caso contrario $r^{\prime}$ è una retta.

Figura che mostra un piano L e una retta r che si intersecano in un punto. La retta r’ è la proiezione ortogonale di r sul piano L. Le rette r e r’ formano un angolo alpha

Definizione. Con le notazioni precedenti, chiameremo angolo compreso tra la retta $r$ e la sottovarietà lineare $\mathbb{L}$ ad essa incidente l’angolo $\alpha$ compreso tra $r$ e la sua proiezione ortogonale $r^{\prime}$ su $\mathbb{L}$ , con la convenzione che, se $r^{\prime}$ è un punto, $\alpha$ è un angolo retto.

Nel caso in cui la sottovarietà lineare $\mathbb{L}$ è un iperpiano di $\mathbb{A}$ , il sottospazio $L^{\perp}$ , ortogonale al sottospazio direttore di $\mathbb{L}$ , ha dimensione $1$ . Indicando con $P$ il punto di intersezione tra la retta $r$ e l’iperpiano $\mathbb{L}$ , la retta $s=P+L^{\perp}$ è la retta perpendicolare a $\mathbb{L}$ passante per il punto $P$ . Se $r$ non è ortogonale a $\mathbb{L}$ , indicata con $r^{\prime}$ la proiezione ortogonale di $r$ sull’iperpiano $\mathbb{L}$ , le tre rette $s$ , $r$ e $r^{\prime}$ sono complanari e, inoltre, $s$ e $r^{\prime}$ sono tra loro ortogonali. La situazione è illustrata nella figura seguente:

Figura che mostra un piano L e una retta r che si intersecano in un punto P. La retta r’ è la proiezione ortogonale di r sul piano L. Le rette r e r’ formano un angolo alpha. La retta s passa per il punto P ed è ortogonale al piano L. Le rette r e s formano un angolo beta. La somma degli angoli alpha e beta è un angolo retto

Di conseguenza, se indichiamo con $\alpha$ l’angolo compreso tra la retta $r$ e l’iperpiano $\mathbb{L}$ (cioè l’angolo tra $r$ e $r^{\prime}$ ) e con $\beta$ l’angolo compreso tra le rette $r$ e $s$ , si ha

\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}

Questa osservazione fornisce un metodo alternativo per calcolare l’angolo $\alpha$ compreso tra la retta $r$ e l’iperpiano $\mathbb{L}$ : basta infatti determinare la retta $s$ perpendicolare a $\mathbb{L}$ , calcolare l’angolo $\beta$ tra $r$ e $s$ e ricordare che $\alpha+\beta$ è un angolo retto.

Per terminare, osserviamo che le considerazioni precedenti ci permettono di definire la nozione di angolo compreso tra due iperpiani incidenti o, più in generale, tra un iperpiano e una sottovarietà lineare di dimensione $\geq 1$ ad esso incidente.

Definizione. Siano $\mathbb{L}$ e $\mathbb{M}$ due iperpiani incidenti in uno spazio affine euclideo $\mathbb{A}$ . Sia $P\in\mathbb{L}\cap\mathbb{M}$ e indichiamo con $r$ e $s$ rispettivamente le rette passanti per il punto $P$ e perpendicolari agli iperpiani $\mathbb{L}$ e $\mathbb{M}$ . Definiamo l’angolo $\alpha$ , compreso tra gli iperpiani $\mathbb{L}$ e $\mathbb{M}$ , come l’angolo compreso tra le rette $r$ e $s$ (nel caso in cui $\dim\mathbb{A}=3$ la situazione è illustrata nella figura seguente).

Figura che mostra due piani L e M che si intersecano. Il punto P appartiene all’intersezione dei due piani. La retta r passa per il punto P ed è ortogonale al piano L. La retta s passa per il punto P ed è ortogonale al piano M. Le rette r e s formano un angolo che è uguale all’angolo formato dai due piani L e M

Definizione. Sia $\mathbb{L}$ un iperpiano in uno spazio affine euclideo $\mathbb{A}$ e sia $\mathbb{M}$ una sottovarietà lineare di $\mathbb{A}$ , di dimensione $\geq 1$ , incidente a $\mathbb{L}$ . Sia $P\in\mathbb{L}\cap\mathbb{M}$ e indichiamo con $r$ la retta perpendicolare a $\mathbb{L}$ passante per il punto $P$ . L’angolo $\alpha$ compreso tra $\mathbb{L}$ e $\mathbb{M}$ è definito ponendo $\alpha=\pi/2-\beta$ , ove $\beta$ è l’angolo compreso tra la retta $r$ e la sottovarietà lineare $\mathbb{M}$ .