Lezione 41

1 Spazi affini euclidei

I risultati ottenuti nella lezione precedente suggeriscono un metodo per determinare la distanza tra due sottovarietà lineari $𝕃$ e $𝕄$, di dimensioni rispettivamente $r$ e $s$, di uno spazio affine euclideo $𝔸$. Si considerari un punto generico $P\in 𝕃$, le cui coordinate dipenderanno quindi da $r$ parametri, e un punto generico $Q\in 𝕄$, le cui coordinate dipenderanno da $s$ parametri. Si calcoli il vettore $u=Q-P$, le cui componenti dipenderanno dunque da $r+s$ parametri, e si imponga che $u$ sia ortogonale ai sottospazi $𝕃$ e $𝕄$. La condizione di ortogonalità a $𝕃$ si esprime imponendo che il prodotto scalare di $u$ con gli $r$ vettori di una base del sottospazio direttore di $𝕃$ sia nullo (si ottengono così $r$ equazioni lineari). Analogamente, la condizione di ortogonalità a $𝕄$ si esprime imponendo che il prodotto scalare di $u$ con gli $s$ vettori di una base del sottospazio direttore di $𝕄$ sia nullo (si ottengono così $s$ equazioni lineari). Si ottiene pertanto un sistema di $r+s$ equazioni lineari in $r+s$ incognite, la cui soluzione permette di determinare due punti $P_0\in 𝕃$ e $Q_0\in 𝕄$ tali che il vettore $Q_0-P_0$ sia ortogonale a $𝕃$ e $𝕄$. Per quanto visto in precedenza, la distanza tra $P_0$ e $Q_0$ coincide con la distanza tra $𝕃$ e $𝕄$.

Illustriamo ora quanto sopra esposto mediante alcuni esempi.

Distanza di un punto da una retta. Sia $𝔸$ uno spazio affine euclideo e indichiamo con $r$ la retta passante per un punto $A$ e parallela a un vettore $v$. Dato un punto $P\in 𝔸$, vogliamo determinare la distanza $h$ di $P$ dalla retta $r$.

Un generico punto $X$ della retta $r$ è dato da $X=A+\lambda v$, al variare del parametro $\lambda \in ℝ$. Il vettore $u=PX$ è quindi dato da $u=X-P=(A-P)+\lambda v$. Imponendo che questo vettore sia ortogonale alla retta $r$ (cioè al vettore $v$), si ottiene

$$0=u\cdot v=(A-P)\cdot v+\lambda v\cdot v$$

da cui si ricava

$$\lambda =-\frac{(A-P)\cdot v}{{\Vert v\Vert }^2}$$

Se indichiamo con $Q$ il punto di $r$ corrispondente a tale valore del parametro $\lambda$, si ha

$$Q=A-\frac{(A-P)\cdot v}{{\Vert v\Vert }^2}v$$

Il punto $Q$ è dunque il punto della retta $r$ per cui il vettore $PQ$ è ortogonale alla retta $r$ stessa: $Q$ è dunque il piede della perpendicolare tracciata per $P$ alla retta $r$. Si ha pertanto

$$d(P,r)=d(P,Q)=\Vert Q-P\Vert =\Vert (A-P)-\frac{(A-P)\cdot v}{{\Vert v\Vert }^2}v\Vert$$

Sviluppando i calcoli, si ottiene

$d{(P,r)}^2$ $=\left((A-P)-{\displaystyle \frac{(A-P)\cdot v}{{\Vert v\Vert }^2}}v\right)\cdot \left((A-P)-{\displaystyle \frac{(A-P)\cdot v}{{\Vert v\Vert }^2}}v\right)$

$={\Vert A-P\Vert }^2-2{\displaystyle \frac{{\left((A-P)\cdot v\right)}^2}{{\Vert v\Vert }^2}}+{\displaystyle \frac{{\left((A-P)\cdot v\right)}^2}{{\Vert v\Vert }^2}}$

$={\Vert A-P\Vert }^2-{\displaystyle \frac{{\left((A-P)\cdot v\right)}^2}{{\Vert v\Vert }^2}}$

da cui si ricava la seguente formula per la distanza di un punto da una retta:

$$d(P,r)=\sqrt{{\Vert A-P\Vert }^2-\frac{{\left((A-P)\cdot v\right)}^2}{{\Vert v\Vert }^2}}$$

Il problema della determinazione della distanza di un punto da una retta può essere affrontato anche in un altro modo, come ora spiegheremo.

Utilizzando le notazioni precedenti, poniamo $B=A+v$, $C=P+v$ e consideriamo il parallelogramma $ABCP$, avente come base il segmento $AB$ e come altezza la distanza $h$ del punto $P$ dalla retta $r$.

Poiché l’area di un parallelogramma è il prodotto della sua base per la relativa altezza, si ha

$$h=\frac{\mathrm{Area}(ABCP)}{AB}$$

Indicando con $w$ il vettore $AP$ e ricordando che $AB=v$, l’area del parallelogramma $ABCP$ è data dalla seguente formula:

Si ottiene pertanto:

Nel caso particolare in cui $𝔸$ è lo spazio affine euclideo ${𝔸}_{ℝ}^3$, l’area di un parallelogramma di lati $v$ e $w$ coincide con la norma del prodotto vettoriale $v\times w$:

$$\mathrm{Area}(ABCP)=\Vert v\times w\Vert$$

In questo caso la distanza $h$ di $P$ dalla retta $r$ si può dunque calcolare come segue:

$$h=\frac{\Vert v\times w\Vert }{\Vert v\Vert }$$

Nel prossimo esempio ricaveremo un’utile formula per determinare la distanza di un punto da un iperpiano dello spazio affine euclideo ${𝔸}_{ℝ}^n$. Prima però abbiamo bisogno del seguente risultato:

Teorema. Nello spazio affine euclideo ${𝔸}_{ℝ}^n$ consideriamo un iperpiano $\pi$ di equazione

$$\pi :a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{x}_n+b=0$$

e indichiamo con $u$ il vettore le cui componenti sono i coefficienti delle incognite $x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n$ nell’equazione di $\pi$,

$$u=(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)$$

Allora il vettore $u$ è ortogonale all’iperpiano $\pi$.

Dimostrazione. Sia $P=(p_1,p_2,\mathrm{\dots },p_n)$ un punto di $\pi$. Si ha

$$a_1{p}_1+a_2{p}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{p}_n+b=0$$

Per ogni vettore $v=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\mathrm{\dots },{\alpha }_n)$ appartenente al sottospazio direttore di $\pi$, il punto $Q=P+v=(p_1+{\alpha }_1,p_2+{\alpha }_2,\mathrm{\dots },p_n+{\alpha }_n)$ appartiene all’iperpiano $\pi$, quindi si ha

$$a_1(p_1+{\alpha }_1)+a_2(p_2+{\alpha }_2)+\mathrm{\cdots }+a_n(p_n+{\alpha }_n)+b=0$$

Sottraendo le due uguaglianze precedenti, si ottiene

$$a_1{\alpha }_1+a_2{\alpha }_2+\mathrm{\cdots }+a_n{\alpha }_n=0$$

cioè $u\cdot v=0$. Poiché questo vale per ogni vettore $v$ appartenente al sottospazio direttore di $\pi$, si conclude che il vettore $u$ è ortogonale all’iperpiano $\pi$.

Distanza di un punto da un iperpiano. Nello spazio affine euclideo $𝔸={𝔸}_{ℝ}^n$ indichiamo con $\pi$ l’iperpiano di equazione

$$\pi :a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{x}_n+b=0$$

e con $P=(p_1,p_2,\mathrm{\dots },p_n)$ un punto di $𝔸$. Vogliamo determinare la distanza di $P$ dall’iperpiano $\pi$. Per quanto visto in precedenza, tale distanza coincide con la distanza di $P$ dall’unico punto $Q\in \pi$ per cui il vettore $PQ$ è ortogonale a $\pi$.

Come abbiamo visto in precedenza, il vettore $u=(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)$ è ortogonale all’iperpiano $\pi$, quindi la retta $r$ passante per il punto $P$ e perpendicolare a $\pi$ ha equazione

$$r:X=P+\lambda u$$

Il punto $Q$ che stiamo cercando è dunque il punto di intersezione tra la retta $r$ e l’iperpiano $\pi$:

$$Q=r\cap \pi$$

In coordinate, le equazioni parametriche della retta $r$ sono

Sostituendo queste espressioni nell’equazione di $\pi$ si ottiene l’equazione

$$a_1(p_1+\lambda a_1)+a_2(p_2+\lambda a_2)+\mathrm{\cdots }+a_n(p_n+\lambda a_n)+b=0$$

la cui soluzione è

$$\overline{\lambda }=-\frac{a_1{p}_1+a_2{p}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{p}_n+b}{a_1^2+a_2^2+\mathrm{\cdots }+a_n^2}$$

Il punto della retta $r$ corrispondente a tale valore di $\lambda$ è il punto $Q$ cercato:

$$Q=P+\overline{\lambda }u$$

Si ha pertanto

$$d(P,\pi )=d(P,Q)=\Vert Q-P\Vert =\Vert \overline{\lambda }u\Vert =|\overline{\lambda }|\Vert u\Vert$$

Sviluppando i calcoli, si ottiene così

$$d(P,\pi )=\frac{|a_1{p}_1+a_2{p}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{p}_n+b|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\mathrm{\cdots }+a_n^2}}$$

Generalizzando gli esempi precedenti, vediamo ora come si possa determinare la distanza di un punto da una sottovarietà lineare qualunque di uno spazio affine euclideo.

Distanza di un punto da una sottovarietà lineare. Sia $𝔸$ uno spazio affine euclideo e sia $𝕃=(ℒ,L,+)$ una sottovarietà lineare di dimensione $r$ di $𝔸$. Dato un punto $P\in 𝔸$, vogliamo determinare la distanza di $P$ da $𝕃$; tale distanza coinciderà con la distanza di $P$ dall’unico punto $Q$ di $𝕃$ per cui il vettore $PQ$ è ortogonale a $𝕃$.

Sia $A$ un punto qualunque di $𝕃$ e indichiamo con $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_r\}$ una base ortonormale di $L$. Un generico punto $X$ di $𝕃$ è dato da

$$X=A+{\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_r{v}_r$$

al variare dei parametri ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_r\in ℝ$. Indicando con $u$ il vettore $X-P$ e con $w$ il vettore $A-P$, si ha dunque

$$u=w+\sum _{j=1}^r{\lambda }_j{v}_j$$

La richiesta che questo vettore sia ortogonale a $𝕃$ si esprime imponendo che il prodotto scalare di $u$ per i vettori della base di $L$ sia nullo. Ricordando che i vettori $v_1,\mathrm{\dots },v_r$ formano una base ortonormale di $L$, per ogni $i=1,\mathrm{\dots },r$, si ha

$$0=u\cdot v_i=w\cdot v_i+\sum _{j=1}^r{\lambda }_j{v}_j\cdot v_i=w\cdot v_i+{\lambda }_i$$

da cui si ricava

$${\lambda }_i=-w\cdot v_i$$

Il punto $Q$ cercato è quindi dato da

$$Q=A-(w\cdot v_1)v_1-\mathrm{\cdots }-(w\cdot v_r)v_r$$

Si ha pertanto

$$d(P,𝕃)=d(P,Q)=\Vert Q-P\Vert =\Vert w-(w\cdot v_1)v_1-\mathrm{\cdots }-(w\cdot v_r)v_r\Vert$$

Sviluppando i calcoli si trova

$$d{(P,𝕃)}^2={\Vert w\Vert }^2-{(w\cdot v_1)}^2-\mathrm{\cdots }-{(w\cdot v_r)}^2$$

da cui si ottiene infine la seguente formula per la distanza di $P$ da $𝕃$:

$$d(P,𝕃)=\sqrt{{\Vert w\Vert }^2-{(w\cdot v_1)}^2-\mathrm{\cdots }-{(w\cdot v_r)}^2}$$

Distanza tra due rette. Indichiamo con $r$ e $s$ due rette in uno spazio affine euclideo $𝔸$. Per determinare la distanza di $r$ da $s$ cerchiamo due punti $P\in r$ e $Q\in s$ tali che il vettore $PQ$ sia ortogonale alle rette $r$ e $s$.

Sia $v$ un vettore direttore di $r$ e scegliamo arbitrariamente un punto $A\in r$: un generico punto $X$ di $r$ è quindi dato da

$$X=A+\lambda v$$

Analogamente, indicando con $w$ un vettore direttore di $s$ e fissando un punto $B\in s$, un generico punto $Y$ della retta $s$ è dato da:

$$Y=B+\mu w$$

Se indichiamo con $u$ il vettore $XY$, si ha

$$u=(B-A)-\lambda v+\mu w$$

La richiesta che questo vettore sia ortogonale alle rette $r$ e $s$ si esprime imponendo che i prodotti scalari di $u$ con $v$ e $w$ siano nulli:

Se i vettori $v$ e $w$ sono linearmente indipendenti (cioè se le rette $r$ e $s$ non sono parallele) il determinante della matrice dei coefficienti di questo sistema è diverso da zero, quindi il sistema ammette un’unica soluzione $\lambda =\overline{\lambda }$ e $\mu =\overline{\mu }$. Sostituendo tali valori nelle espressioni di $X$ e $Y$ si ottengono i punti $P$ e $Q$ cercati. Se invece le rette $r$ e $s$ sono parallele, il determinante della matrice dei coefficienti del sistema precedente è nullo. In questo caso esso ammette infinite soluzioni (dipendenti da un parametro). Una qualunque di queste soluzioni fornisce una coppia di punti $P$ e $Q$ tali che $d(r,s)=d(P,Q)$.