Lezione 40

1 Spazi affini euclidei

Definizione. Uno spazio affine euclideo è uno spazio affine $𝔸$, definito sul campo $ℝ$ dei numeri reali, in cui lo spazio direttore $V$ è dotato di una struttura di spazio vettoriale euclideo, cioè di una forma bilineare simmetrica definita positiva $g:V\times V\to ℝ$. Commettendo un abuso di notazione, dati due vettori $v,w\in V$, nel seguito scriveremo $v\cdot w$ al posto di $g(v,w)$.

Esempio. L’esempio fondamentale di spazio affine euclideo è costituito dallo spazio affine ${𝔸}_{ℝ}^n$, in cui lo spazio vettoriale soggiacente ${ℝ}^n$ è dotato del prodotto scalare usuale. Tale spazio verrà chiamato semplicemente lo spazio affine euclideo ${𝔸}_{ℝ}^n$.

Definizione. In uno spazio affine euclideo $𝔸$ (di dimensione $n$), un sistema di riferimento $ℛ=\{O,v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ è detto ortogonale (rispettivamente, ortonormale) se i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ sono una base ortogonale (rispettivamente, ortonormale) dello spazio vettoriale euclideo $V$. Un sistema di riferimento ortonormale è anche detto cartesiano.

Osservazione. Si noti che l’esistenza di sistemi di riferimento ortonormali in uno spazio affine euclideo è garantita dall’esistenza di basi ortonormali negli spazi vettoriali euclidei. Inoltre, la scelta di un sistema di riferimento ortonormale $ℛ$ in uno spazio affine euclideo $𝔸$ di dimensione $n$, determina un isomorfismo di spazi affini

$${\mathrm{\Phi }}_{ℛ}:𝔸⟶{𝔸}_{ℝ}^n$$

Mediante tale isomorfismo la forma bilineare $g$ definita sullo spazio vettoriale $V$ soggiacente allo spazio affine $𝔸$ viene identificata con il prodotto scalare usuale di ${ℝ}^n$.

La presenza di un prodotto scalare definito nello spazio vettoriale $V$ soggiacente a uno spazio affine euclideo $𝔸$ permette di definire la distanza tra due punti di $𝔸$:

Definizione. Siano $𝔸$ uno spazio affine euclideo e $P$, $Q$ due punti di $𝔸$. La distanza $d(P,Q)$ tra $P$ e $Q$ è la norma del vettore $Q-P$:

$$d(P,Q)=\Vert Q-P\Vert =\sqrt{(Q-P)\cdot (Q-P)}$$

Dalle proprietà della norma di un vettore si deduce che, in uno spazio affine euclideo $𝔸=(𝒜,V,+)$, la funzione distanza

$$d:𝒜\times 𝒜\to ℝ$$

gode delle seguenti proprietà:

1. $d(P,Q)\ge 0$, per ogni $P,Q\in 𝒜$, e $d(P,Q)=0$ se e solo se $P=Q$;

2. $d(P,Q)=d(Q,P)$, per ogni $P,Q\in 𝒜$;

3. $d(P,R)\le d(P,Q)+d(Q,R)$, per ogni $P,Q,R\in 𝒜$.

La proprietà (3) è detta disuguaglianza triangolare: essa afferma che, in un triangolo, ogni lato è minore o uguale della somma degli altri due.

Se $𝒮$ e $𝒯$ sono due sottoinsiemi non vuoti (dell’insieme dei punti) di uno spazio affine euclideo $𝔸$, risulta naturale definire la distanza di $𝒮$ da $𝒯$ come l’estremo inferiore delle distanze dei punti di $𝒮$ dai punti di $𝒯$:

$$d(𝒮,𝒯)=inf\{d(P,Q):P\in 𝒮,Q\in 𝒯\}$$

Dalla definizione data segue subito che

$$𝒮\cap 𝒯\ne \mathrm{\varnothing }\text{se e solo se}d(𝒮,𝒯)=0$$

L’osservazione seguente mostra che non vale l’implicazione opposta.

Osservazione. Se $𝒮$ e $𝒯$ sono due sottoinsiemi di uno spazio affine euclideo $𝔸$, non è detto che esistano dei punti $P\in 𝒮$ e $Q\in 𝒯$ tali che $d(P,Q)=d(𝒮,𝒯)$. Ad esempio, considerando la retta affine reale ${𝔸}_{ℝ}^1$ e ponendo

$$𝒮=\{x\in ℝ:x\le 0\},𝒯=\{x\in ℝ:x>0\}$$

si ha $d(𝒮,𝒯)=0$, ma $d(P,Q)>0$ per ogni $P\in 𝒮$ e ogni $Q\in 𝒯$.

Nel caso particolare in cui i sottoinsiemi $𝒮$ e $𝒯$ sono (gli insiemi dei punti di) due sottospazi affini $𝕃$ e $𝕄$ dello spazio affine euclideo $𝔸$, la funzione distanza

$$d:𝕃\times 𝕄\to ℝ,(P,Q)\mapsto d(P,Q)$$

ammette minimo, cioè esistono dei punti $P_0\in 𝕃$ e $Q_0\in 𝕄$ tali che

$$d(𝕃,𝕄)=d(P_0,Q_0)$$

Prima di dimostrare questo risultato enunciamo e dimostriamo il seguente lemma:

Lemma. Siano $𝕃=(ℒ,L,+)$ e $𝕄=(ℳ,M,+)$ due sottospazi affini di uno spazio affine euclideo $𝔸$ e siano $P_0\in 𝕃$ e $Q_0\in 𝕄$ due punti tali che il vettore $u=Q_0-P_0$ sia ortogonale a $𝕃$ e $𝕄$. Allora, per ogni $P\in 𝕃$ e ogni $Q\in 𝕄$, si ha $d(P_0,Q_0)\le d(P,Q)$. Inoltre, se $P_1\in 𝕃$ e $Q_1\in 𝕄$ sono due punti tali che $d(P_1,Q_1)=d(P_0,Q_0)$, deve necessariamente essere $Q_1-P_1=Q_0-P_0$.

Dimostrazione. Per ogni $P\in 𝕃$ e ogni $Q\in 𝕄$, si ha $Q-P=(Q-Q_0)+(Q_0-P_0)+(P_0-P)$, cioè $Q-P=u+v+w$, ove $u=Q_0-P_0$, $v=P_0-P\in L$ e $w=Q-Q_0\in M$.

Dato che $u$ è ortogonale a $𝕃$ e $𝕄$, si ha $u\cdot v=u\cdot w=0$. Da ciò segue che

${\Vert Q-P\Vert }^2$ $=(u+v+w)\cdot (u+v+w)$

$={\Vert u\Vert }^2+{\Vert v\Vert }^2+{\Vert w\Vert }^2+2v\cdot w$

$={\Vert u\Vert }^2+{\Vert v+w\Vert }^2$

$\ge {\Vert u\Vert }^2$

e quindi $d(P,Q)\ge d(P_0,Q_0)$. Specializzando ora il ragionamento precedente al caso in cui $P=P_1$ e $Q=Q_1$, si ha

$${\Vert Q_1-P_1\Vert }^2={\Vert u\Vert }^2+{\Vert v+w\Vert }^2={\Vert Q_0-P_0\Vert }^2+{\Vert v+w\Vert }^2$$

Poiché, per ipotesi, si ha $d(P_1,Q_1)=d(P_0,Q_0)$, deve essere ${\Vert Q_1-P_1\Vert }^2={\Vert Q_0-P_0\Vert }^2$ e quindi ${\Vert v+w\Vert }^2=0$. Da ciò si deduce che $v+w=0$ e dunque $w=-v$. Si ha pertanto $Q_1-P_1=u+v+w=u+v-v=u=Q_0-P_0$, come volevasi dimostrare.

Teorema. Siano $𝕃=(ℒ,L,+)$ e $𝕄=(ℳ,M,+)$ due sottospazi affini (non vuoti) di uno spazio affine euclideo $𝔸$. Allora esistono dei punti $P_0\in 𝕃$ e $Q_0\in 𝕄$ tali che

$$d(P_0,Q_0)\le d(P,Q)$$

per ogni $P\in 𝕃$ e ogni $Q\in 𝕄$.

Dimostrazione. Se $𝕃$ e $𝕄$ sono incidenti, è sufficiente prendere $P_0=Q_0\in 𝕃\cap 𝕄$. Possiamo quindi supporre che i due sottospazi affini $𝕃$ e $𝕄$ non abbiano punti in comune.

Consideriamo due punti qualsiasi $P_1\in 𝕃$, $Q_1\in 𝕄$ e indichiamo con $u_1$ il vettore $Q_1-P_1$. Osserviamo che $u_1$ non può appartenere alla somma dei due sottospazi $L$ e $M$. Infatti, se fosse $u_1=Q_1-P_1\in L+M$, si avrebbe $Q_1-P_1=v+w$, per qualche $v\in L$, $w\in M$. Da ciò seguirebbe che il punto $R=P_1+v=Q_1-w$ apparterrebbe sia a $𝕃$ che a $𝕄$, contro l’ipotesi che $𝕃$ e $𝕄$ siano disgiunti.

Indichiamo con $u_1^{\prime }$ la proiezione ortogonale di $u_1$ sul sottospazio $L+M$. Si ha dunque

$$u_1=u_1^{\prime }+u_1^{\prime \prime }$$

con $u_1^{\prime }\in L+M$ e $u_1^{\prime \prime }\in {(L+M)}^{⟂}=L^{⟂}\cap M^{⟂}$. Notiamo che, da quanto detto sopra, segue che $u_1^{\prime \prime }\ne 0$. Dato che $u_1^{\prime }\in L+M$, possiamo scrivere $u_1^{\prime }=v+w$, per qualche $v\in L$ e $w\in M$ (si noti che tale decomposizione non è, in generale, unica; lo è solo nel caso in cui $L\cap M=\{0\}$, cioè quando i due sottospazi affini $𝕃$ e $𝕄$ sono sghembi). Ora poniamo $P_0=P_1+v$ e $Q_0=Q_1-w$; si ha ovviamente $P_0\in 𝕃$ e $Q_0\in 𝕄$. Affermiamo che $P_0$ e $Q_0$ sono i punti cercati. Infatti, si ha

$Q_0-P_0$ $=(Q_1-w)-(P_1+v)$

$=(Q_1-P_1)-(v+w)$

$=u_1-u_1^{\prime }$

$=u_1^{\prime \prime }\in L^{⟂}\cap M^{⟂}$

quindi il vettore $u=u_1^{\prime \prime }=Q_0-P_0$ è ortogonale ad entrambi i sottospazi affini $𝕃$ e $𝕄$. Dal lemma precedente segue la conclusione.

Il risultato seguente afferma che la distanza tra due sottospazi affini non incidenti $𝕃$ e $𝕄$ di uno spazio affine euclideo $𝔸$ si misura lungo una direzione perpendicolare ad entrambi i sottospazi. Inoltre una tale direzione risulta essere unica.

Teorema. Siano $𝕃=(ℒ,L,+)$ e $𝕄=(ℳ,M,+)$ due sottospazi affini (non vuoti) di uno spazio affine euclideo $𝔸$ e siano $P_0\in ℒ$ e $Q_0\in ℳ$ due punti tali che $d(P_0,Q_0)=d(𝕃,𝕄)$. Allora, indicando con $u$ il vettore $Q_0-P_0$, si ha $u\in L^{⟂}\cap M^{⟂}$, cioè, per ogni vettore $v\in L$ e ogni $w\in M$, è $u\cdot v=u\cdot w=0$.

Dimostrazione. Se $𝕃$ e $𝕄$ sono incidenti si ha $P_0=Q_0$, quindi $u=Q_0-P_0=0$. In questo caso la tesi è banalmente verificata.

Supponiamo quindi che $𝕃\cap 𝕄=\mathrm{\varnothing }$. Siano dunque $P_0\in ℒ$ e $Q_0\in ℳ$ tali che $d(P_0,Q_0)=d(𝕃,𝕄)$: si ha pertanto $d(P_0,Q_0)\le d(A,B)$, per ogni $A\in ℒ$ e ogni $B\in ℳ$. Poniamo $u=Q_0-P_0$ e supponiamo, per assurdo, che $u\notin M^{⟂}$. Ciò significa che esiste un vettore $w\in M$ tale che $u\cdot w\ne 0$. La situazione è schematizzata nella figura seguente:

Indichiamo con $r$ la retta passante per $Q_0$ e parallela al vettore $w$: tale retta è contenuta in $𝕄$, dato che $Q_0\in ℳ$ e $w\in M$. Sia $R$ il punto della retta $r$ per cui il vettore $P_{0}R$ è ortogonale al vettore $w$; $R$ è dato da

$$R=Q_0-\left(\frac{u\cdot w}{w\cdot w}\right)w$$

Il quadrato della distanza di $P_0$ da $R$ è:

$d{(P_0,R)}^2$ $={\Vert R-P_0\Vert }^2$

$={\Vert u-\left({\displaystyle \frac{u\cdot w}{w\cdot w}}\right)w\Vert }^2$

$={\Vert u\Vert }^2-{\left({\displaystyle \frac{u\cdot w}{\Vert w\Vert }}\right)}^2$

Poiché abbiamo supposto che sia $u\cdot w\ne 0$, si ha

il che contraddice l’ipotesi che $P_0$ e $Q_0$ siano i punti di minima distanza di $𝕃$ e $𝕄$. L’assurdo deriva dall’aver supposto che il vettore $u$ non sia perpendicolare al sottospazio $M$; deve pertanto essere $u\in M^{⟂}$. Scambiando i ruoli di $𝕃$ e $𝕄$ si dimostra, in modo del tutto analogo, che vale anche $u\in L^{⟂}$.

Osservazione. Nel caso in cui il sottospazio affine $𝕃$ si riduce a un punto $P$ i risultati precedenti permettono di concludere che esiste un unico punto $Q\in 𝕄$ tale che $d(P,Q)=d(P,𝕄)$. In tal caso, inoltre, il vettore $PQ$ risulta essere ortogonale a $𝕄$.

Possiamo dunque affermare che, per ogni punto $P$ e ogni sottovarietà lineare $𝕄$ di uno spazio affine euclideo $𝔸$, esiste un unico punto $Q\in 𝕄$ tale che il vettore $PQ$ sia ortogonale a $𝕄$; tale punto $Q$ è detto la proiezione ortogonale di $P$ su $𝕄$. Risulta così definita una funzione

$${\pi }_{𝕄}:𝔸\to 𝕄$$

che associa ad ogni $P\in 𝔸$ la sua proiezione ortogonale ${\pi }_{𝕄}(P)=Q$ sul sottospazio affine $𝕄$. Si noti infine che, per ogni punto $P\in 𝕄$, si ha ${\pi }_{𝕄}(P)=P$. Da ciò segue che ${\pi }_{𝕄}\left({\pi }_{𝕄}(P)\right)={\pi }_{𝕄}(P)$, per ogni $P\in 𝔸$. Questa proprietà viene comunemente espressa con la seguente notazione: ${\pi }_{𝕄}^2={\pi }_{𝕄}\circ {\pi }_{𝕄}={\pi }_{𝕄}$.