Lezione 3

1 Spazi vettoriali

Sia $K$ un campo qualunque. Tanto per fissare le idee, si può supporre che $K$ sia il campo $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali, oppure il campo $ℝ$ dei numeri reali, oppure ancora il campo $ℂ$ dei numeri complessi.

Definizione. Uno spazio vettoriale su $K$ è un insieme non vuoto $V$ dotato di un’operazione indicata con $+$, detta somma, e di un’operazione di moltiplicazione fra elementi del campo $K$ ed elementi di $V$. Questa operazione è detta prodotto per uno scalare. Si richiede che queste due operazioni abbiano le seguenti proprietà: per ogni $\lambda ,{\lambda }_1,{\lambda }_2\in K$ e ogni $v,v_1,v_2\in V$ si ha:

1. $(v_1+v_2)+v_3=v_1+(v_2+v_3)$

2. $v_1+v_2=v_2+v_1$

3. esiste un elemento $0\in V$ tale che $v+0=0+v=v$

4. per ogni $v\in V$ esiste un elemento $v^{\prime }\in V$ tale che $v+v^{\prime }=v^{\prime }+v=0$. Tale elemento $v^{\prime }$ viene indicato con $-v$ e detto l’opposto di $v$

5. $\lambda (v_1+v_2)=\lambda v_1+\lambda v_2$

6. $({\lambda }_1+{\lambda }_2)v={\lambda }_{1}v+{\lambda }_{2}v$

7. $({\lambda }_1{\lambda }_2)v={\lambda }_1({\lambda }_{2}v)$

8. $1v=v$.

Gli elementi di uno spazio vettoriale $V$ sono detti vettori. Gli elementi del campo $K$ sono detti scalari.

Esempio 1. Sia $V$ l’insieme i cui elementi sono sequenze di $n$ elementi del campo $K$, che indicheremo con $K^n$. Definiamo un’operazione di somma tra elementi di $V$ ponendo

$$(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)+(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n)=(a_1+b_1,a_2+b_2,\mathrm{\dots },a_n+b_n),$$

e un’operazione di prodotto tra elementi dal campo $K$ ed elementi di $V$ ponendo

$$\lambda (a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)=(\lambda a_1,\lambda a_2,\mathrm{\dots },\lambda a_n).$$

è immediato verificare che $V$, con le operazioni appena definite, è uno spazio vettoriale su $K$.

Esempio 2. Sia $K$ un campo e indichiamo con $K[X]$ l’insieme dei polinomi a coefficienti in $K$ nell’indeterminata $X$. Un generico elemento di $K[X]$ si scrive nella forma

$$p(X)=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\mathrm{\cdots }+a_n{X}^n,$$

per qualche $n\ge 0$, ove tutti i coefficienti $a_i$ sono elementi di $K$.

Rispetto alle operazioni di somma di polinomi e di prodotto di un polinomio per un elemento di $K$, l’insieme $K[X]$ è uno spazio vettoriale.

Esempio 3. Sia $K$ un campo e sia $S$ un insieme (non vuoto) qualsiasi. Indichiamo con $K^S$ l’insieme di tutte le funzioni $f:S\to K$.

Date due funzioni $f,g\in K^S$ possiamo definire la loro somma ponendo

$$(f+g)(s)=f(s)+g(s),$$

e possiamo definire il prodotto di una funzione $f$ per uno scalare $\lambda \in K$ ponendo,

$$(\lambda f)(s)=\lambda (f(s)),$$

per ogni $s\in S$.

Anche in questo caso è immediato verificare che l’insieme $K^S$, con le operazioni appena definite, è uno spazio vettoriale su $K$.

Esempio 4. Sia $K=\mathbb{Q}$ il campo dei numeri razionali e sia $V=ℝ$ il campo dei numeri reali. Rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto tra numeri, $V$ risulta essere uno spazio vettoriale su $K$.

Più in generale, per ogni campo $K$ e ogni estensione di campi $K\subset L$, $L$ risulta essere uno spazio vettoriale su $K$.

Terminiamo questa sezione con la seguente definizione:

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$. Una combinazione lineare di elementi di $V$ è una somma finita del tipo

$${\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n,$$

con ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n\in K$ e $v_1,\mathrm{\dots },v_n\in V$.

2 Sottospazi vettoriali

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$.

Definizione. Un sottospazio vettoriale $W$ di $V$ è un sottoinsieme non vuoto $W\subseteq V$ tale che la restrizione a $W$ delle operazioni di somma e di prodotto per uno scalare definite in $V$ rende $W$ uno spazio vettoriale sul campo $K$.

Dalla definizione si deduce che, affinché un sottoinsieme non vuoto $W$ di $V$ sia un sottospazio vettoriale, è necessario e sufficiente che valgano le seguenti proprietà:

1. per ogni $w_1,w_2\in W$, si ha $w_1+w_2\in W$

2. per ogni $w\in W$, anche $-w\in W$

3. $0\in W$

4. per ogni $\lambda \in K$ e ogni $w\in W$, si ha $\lambda w\in W$.

In effetti, è sufficiente richiedere che $W$ sia chiuso per le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare, cioè che si abbia

$$w_1+w_2\in W,\text{per ogni }{w}_1,w_2\in W$$

e

$$\lambda w\in W,\text{per ogni }\lambda \in K,w\in W.$$

Queste due condizioni possono essere raggruppate in una sola:

$${\lambda }_1{w}_1+{\lambda }_2{w}_2\in W,$$

per ogni ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in K$ e ogni $w_1,w_2\in W$.

Esempio. Sia $V=K^n$ e sia $W$ l’insieme dei vettori $w=(x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n)$ che sono soluzioni di un’equazione lineare del tipo

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{x}_n=0,$$

con $a_1,\mathrm{\dots },a_n\in K$ fissati.

È immediato verificare che una combinazione lineare di due elementi di $W$ fornisce ancora una soluzione della precedente equazione, quindi appartiene a $W$. Ciò significa che $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$.

Al contrario, l’insieme delle soluzioni di un’equazione del tipo

$$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{x}_n=k,$$

con $k\ne 0$, non è un sottospazio vettoriale di $V$, dato che non contiene il vettore nullo.

2.1 Intersezione e unione

Consideriamo ora le operazioni insiemistiche di intersezione e unione nel contesto dei sottospazi vettoriali.

Teorema. Se ${\{W_i\}}_{i\in I}$ è una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V$, allora anche la loro intersezione

$$W=\bigcap _{i\in I}{W}_i$$

è un sottospazio vettoriale di $V$.

Dimostrazione. Siano ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in K$ e $w_1,w_2\in W$. Allora $w_1,w_2\in W_i$, per ogni $i\in I$, quindi anche ${\lambda }_1{w}_1+{\lambda }_2{w}_2\in W_i$, dato che $W_i$ è un sottospazio vettoriale di $V$. Da ciò segue che ${\lambda }_1{w}_1+{\lambda }_2{w}_2\in W$.

Osservazione. Una proprietà analoga non vale invece per l’unione: se $W_1$ e $W_2$ sono due sottospazi vettoriali di $V$, la loro unione $W_1\cup W_2$ non è, in generale, un sottospazio vettoriale di $V$.

A titolo di esempio, consideriamo lo spazio vettoriale $V=K^2$. Poniamo $W_1=\{(a,0):a\in K\}$ e $W_2=\{(0,b):b\in K\}$. è immediato verificare che essi sono due sottospazi vettoriali di $V$. Si ha $(1,0)\in W_1$ e $(0,1)\in W_2$, tuttavia la loro somma $(1,1)$ non appartiene né a $W_1$ né a $W_2$. Ciò dimostra che l’insieme $W_1\cup W_2$ non è chiuso per l’operazione di somma, quindi non può essere un sottospazio vettoriale.