Lezione 38

1 Sottospazi affini

Sia $𝔸=(𝒜,V,+)$ uno spazio affine sul campo $K$.

Definizione. Un sottospazio affine (o sottovarietà lineare) di $𝔸$ è uno spazio affine $𝔹=(ℬ,W,+)$, ove $ℬ$ è un sottoinsieme di $𝒜$, $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ e l’operazione $+:ℬ\times W\to ℬ$ è indotta, per restrizione, dall’operazione $+:𝒜\times V\to 𝒜$ definita nello spazio affine $𝔸$.

La struttura dei sottospazi affini di uno spazio affine $𝔸$ è ulteriormente precisata dal seguente risultato:

Teorema. Sia $𝔹=(ℬ,W,+)$ un sottospazio affine dello spazio affine $𝔸=(𝒜,V,+)$. Per ogni punto $P\in ℬ$, si ha

$$ℬ=P+W=\{P+w:w\in W\}$$

Dimostrazione. Fissato $P\in ℬ$, dalla definizione di spazio affine segue che, per ogni vettore $w\in W$, il punto $Q=P+w$ appartiene all’insieme $ℬ$. Viceversa, dalla proprietà (3) della definizione di spazio affine, segue che, per ogni $Q\in ℬ$, esiste un unico vettore $w\in W$ tale che $Q=P+w$.

Osservazione. Se $𝔸=(𝒜,V,+)$ è uno spazio affine e $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$, per ogni punto $P\in 𝒜$ si può costruire un sottospazio affine $𝔹=(ℬ,W,+)$ di $𝔸$ ponendo

$$ℬ=P+W=\{P+w:w\in W\}$$

e definendo l’operazione $+$ come la restrizione dell’operazione di somma tra punti e vettori definita in $𝔸$. La verifica che $𝔹$ è uno spazio affine è immediata.

Il sottospazio affine $𝔹$ così definito verrà spesso indicato semplicemente con $𝔹=P+W$: esso è detto il sottospazio affine di $𝔸$ passante per il punto $P$ e parallelo al sottospazio $W$. Il sottospazio vettoriale $W$ è anche detto la giacitura di $𝔹$.

Osservazione. Un sottospazio affine di $𝔸$ di dimensione $0$ è semplicemente un punto di $𝔸$. Un sottospazio affine di dimensione $1$ è detto una retta, un sottospazio affine di dimensione $2$ è detto un piano e, se $dim𝔸=n$, un sottospazio affine di $𝔸$ di dimensione $n-1$ è detto un iperpiano.

Definizione. Sia $𝒮$ un sottoinsieme non vuoto (dell’insieme dei punti) di uno spazio affine $𝔸$. Il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝒮$ è detto il sottospazio affine generato da $𝒮$ ed è indicato con $⟨𝒮⟩$.

Teorema. Sia $𝔸=(𝒜,V,+)$ uno spazio affine e $𝒮$ un sottoinsieme non vuoto di $𝒜$. Fissato arbitrariamente un punto $P\in 𝒮$ indichiamo con $W$ il sottospazio vettoriale di $V$ generato dall’insieme dei vettori $v_Q=Q-P$, al variare del punto $Q$ in $𝒮$. Allora si ha $⟨𝒮⟩=P+W$.

Dimostrazione. Indichiamo con $𝔹$ il sottospazio affine $𝔹=P+W$ di $𝔸$. Per ogni $Q\in 𝒮$, si ha $Q=P+(Q-P)=P+v_Q\in 𝔹$, il che dimostra che $𝒮\subseteq 𝔹$. Per dimostrare che $⟨𝒮⟩=𝔹$ bisogna quindi dimostrare che $𝔹$ è il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝒮$, cioè che ogni sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝒮$ contiene anche $𝔹$. Sia dunque ${𝔸}^{\prime }=({𝒜}^{\prime },V^{\prime },+)$ un sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝒮$. Per ogni $P,Q\in 𝒮$ si ha anche $P,Q\in {𝔸}^{\prime }$ e quindi $v_Q=Q-P\in V^{\prime }$. Il sottospazio vettoriale $V^{\prime }$ contiene dunque l’insieme dei vettori $v_Q=Q-P$, al variare di $Q$ in $𝒮$, e pertanto contiene anche il sottospazio vettoriale $W$ da essi generato. Per ogni vettore $w\in W$ si ha quindi $P+w\in {𝔸}^{\prime }$, il che dimostra che $𝔹\subseteq 𝔸$.

Come già accadeva nel caso degli spazi vettoriali, l’unione di due sottospazi affini di uno spazio affine $𝔸$ non è, in generale, un sottospazio affine di $𝔸$. Definiamo dunque la somma di due sottospazi affini $𝕃$ e $𝕄$, che indicheremo con $𝕃\vee 𝕄$, come il sottospazio affine generato dall’unione di $𝕃$ e $𝕄$, cioè come il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝕃$ e $𝕄$. Nel caso particolare in cui i sottospazi affini in questione sono due punti, $P$ e $Q$, con la notazione $P\vee Q$ si indica dunque il più piccolo sottospazio affine contenente i punti $P$ e $Q$, cioè la retta passante per $P$ e $Q$ (se i punti $P$ e $Q$ sono distinti). Analogamente, dati tre punti $P$, $Q$ e $R$ di uno spazio affine $𝔸$, la notazione $P\vee Q\vee R$ indica il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ contenente i tre punti dati, cioè il piano passante per $P$, $Q$ e $R$, se i tre punti in questione non sono allineati.

Per la somma di due sottospazi affini vale il seguente risultato:

Teorema. Siano $𝕃=(ℒ,L,+)$ e $𝕄=(ℳ,M,+)$ due sottospazi affini di uno spazio affine $𝔸$. Se $ℒ\cap ℳ\ne \mathrm{\varnothing }$, allora

$$𝕃\vee 𝕄=P+(L+M)=\{P+v:v\in L+M\}$$

per ogni punto $P\in ℒ\cup ℳ$. Se invece $ℒ\cap ℳ=\mathrm{\varnothing }$, allora

$$𝕃\vee 𝕄=P+(L+M+⟨u⟩)=\{P+v:v\in L+M+⟨u⟩\}$$

ove $P\in ℒ\cup ℳ$ e $u=B-A$, con $A\in ℒ$ e $B\in ℳ$.

Dimostrazione. Consideriamo dapprima il caso in cui $ℒ\cap ℳ\ne \mathrm{\varnothing }$. Sia $A\in ℒ\cap ℳ$ e fissiamo un punto $P\in ℒ\cup ℳ$. A meno di scambiare i ruoli di $ℒ$ e $ℳ$, non è restrittivo supporre che $P\in ℒ$. Consideriamo dunque il sottospazio affine $𝔹=P+(L+M)$. Per dimostrare che $𝔹=𝕃\vee 𝕄$ dobbiamo dimostrare che $𝔹$ è il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ che contiene $𝕃$ e $𝕄$. Per ogni punto $Q\in 𝕃$ il vettore $v=Q-P$ appartiene allo spazio vettoriale $L$, quindi $Q=P+v\in P+L\subseteq 𝔹$; ciò dimostra che $𝕃\subseteq 𝔹$. Per dimostrare che anche $𝕄\subseteq 𝔹$, consideriamo un punto $R\in 𝕄$ e poniamo $w=R-A$ (notiamo che $w\in M$, dato che anche il punto $A$ appartiene a $𝕄$). Dato che i punti $A$ e $P$ appartengono a $𝕃$, il vettore $u=A-P$ appartiene al sottospazio vettoriale $L$. Si ha dunque

$$R=P+(A-P)+(R-A)=P+u+w\in P+(L+M)$$

pertanto $R\in 𝔹$. Abbiamo così dimostrato che $𝔹$ contiene $𝕃$ e $𝕄$.

Sia ora ${𝔹}^{\prime }$ un sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝕃$ e $𝕄$. Se indichiamo con $W$ lo spazio vettoriale soggiacente a ${𝔹}^{\prime }$, si ha $W\supseteq L$ e $W\supseteq M$, pertanto $W\supseteq L+M$. Poiché anche $P\in {𝔹}^{\prime }$, si ha $𝔹=P+(L+M)\subseteq {𝔹}^{\prime }$, il che dimostra che $𝔹$ è il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝕃$ e $𝕄$, cioè $𝔹=𝕃\vee 𝕄$.

Consideriamo ora il caso in cui $ℒ\cap ℳ=\mathrm{\varnothing }$. Siano $A\in ℒ$, $B\in ℳ$ e poniamo $u=B-A$, fissiamo inoltre un punto $P\in ℒ\cup ℳ$. Anche in questo caso, a meno di scambiare i ruoli di $ℒ$ e $ℳ$, non è restrittivo supporre che $P\in ℒ$. Consideriamo il sottospazio affine $𝔹=P+(L+M+⟨u⟩)$. Per dimostrare che $𝔹=𝕃\vee 𝕄$ bisogna dimostrare che $𝔹$ è il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ che contiene $𝕃$ e $𝕄$. Come nel caso precedente, per ogni punto $Q\in 𝕃$ il vettore $v=Q-P$ appartiene allo spazio vettoriale $L$, quindi $Q=P+v\in P+L\subseteq 𝔹$; ciò dimostra che $𝕃\subseteq 𝔹$. Per dimostrare che anche $𝕄\subseteq 𝔹$, consideriamo un punto $R\in 𝕄$ e notiamo che si ha

$$R=P+(A-P)+(B-A)+(R-B)$$

Ora basta osservare che il vettore $A-P$ appartiene a $L$, dato che $A,P\in 𝕃$, che $R-B\in M$ dato che i punti $B$ e $R$ appartengono a $𝕄$ e che $B-A=u$, per concludere che $R\in P+(L+M+⟨u⟩)=𝔹$. Abbiamo così dimostrato che $𝔹$ contiene $𝕃$ e $𝕄$.

Consideriamo ora un sottospazio affine ${𝔹}^{\prime }$ contenente $𝕃$ e $𝕄$. Se indichiamo con $W$ lo spazio vettoriale soggiacente a ${𝔹}^{\prime }$, si ha $W\supseteq L$ e $W\supseteq M$. Inoltre, poiché $A,B\in {𝔹}^{\prime }$, si ha anche $u=B-A\in W$, quindi $W\supseteq L+M+⟨u⟩$. Si ha dunque $𝔹=P+(L+M+⟨u⟩)\subseteq {𝔹}^{\prime }$. Pertanto $𝔹$ è il più piccolo sottospazio affine di $𝔸$ contenente $𝕃$ e $𝕄$, cioè $𝔹=𝕃\vee 𝕄$.

A differenza dell’unione, l’intersezione di due o più sottospazi affini è, solitamente, un sottospazio affine. Si ha infatti:

Teorema. Sia ${𝔹}_i=({ℬ}_i,W_i,+)$, $i\in I$, una famiglia di sottospazi affini di uno spazio affine $𝔸=(𝒜,V,+)$. Se ${\bigcap }_{i\in I}{ℬ}_i\ne \mathrm{\varnothing }$, l’intersezione dei sottospazi affini ${𝔹}_i$ è un sottospazio affine di $𝔸$, il cui insieme dei punti è ${\bigcap }_{i\in I}{ℬ}_i$ e il cui spazio direttore è ${\bigcap }_{i\in I}{W}_i$. Si ha cioè

$$\bigcap _{i\in I}{𝔹}_i=(\bigcap _{i\in I}{ℬ}_i,\bigcap _{i\in I}{W}_i,+)$$

Dimostrazione. La dimostrazione si riduce alla verifica che per la terna

$$(\bigcap _{i\in I}{ℬ}_i,\bigcap _{i\in I}{W}_i,+)$$

valgono le proprietà (1), (2) e (3) della definizione di spazio affine, il che è del tutto ovvio.

Osservazione. L’unico caso in cui l’intersezione di due o più sottospazi affini non è un sottospazio affine si ha quando tale intersezione è l’insieme vuoto. Risulta pertanto conveniente considerare anche l’insieme vuoto come uno spazio affine. Naturalmente, la dimensione di un tale spazio affine non è definita. È comunque possibile attribuire una dimensione allo spazio affine vuoto ponendo $dim\mathrm{\varnothing }=-1$ (a tal proposito, si ricordi che uno spazio affine di dimensione zero non è vuoto, ma è costituito da un solo punto).

Osservazione. Dato un sottoinsieme $𝒮$ di uno spazio affine $𝔸$, si può ora facilmente verificare che il sottospazio affine di $𝔸$ generato da $𝒮$ coincide con l’intersezione di tutti i sottospazi affini di $𝔸$ contenenti $𝒮$.

Per quanto riguarda le posizioni reciproche di due sottospazi affini, possiamo dare la seguente definizione:

Definizione. Siano $𝕃$ e $𝕄$ due sottospazi affini di uno spazio affine $𝔸$, di sottospazi direttori $L$ e $M$, rispettivamente.

1. $𝕃$ e $𝕄$ sono incidenti se $𝕃\cap 𝕄\ne \mathrm{\varnothing }$;

2. $𝕃$ e $𝕄$ sono paralleli se $L\ne \{0\}$, $M\ne \{0\}$ e se inoltre si ha $L\subseteq M$ oppure $M\subseteq L$;

3. $𝕃$ e $𝕄$ sono sghembi se $𝕃\cap 𝕄=\mathrm{\varnothing }$ e $L\cap M=\{0\}$.

Da quanto visto segue il seguente risultato:

Corollario. Siano $𝕃$ e $𝕄$ due sottospazi affini di $𝔸$. Se $𝕃$ e $𝕄$ sono incidenti oppure sghembi, si ha

$$dim(𝕃\vee 𝕄)=dim𝕃+dim𝕄-dim(𝕃\cap 𝕄)$$

altrimenti

Dimostrazione. Indichiamo con $L$ e $M$ i sottospazi direttori di $𝕃$ e $𝕄$, rispettivamente. Se $𝕃$ e $𝕄$ sono incidenti, $𝕃\cap 𝕄$ è un sottospazio affine il cui spazio direttore è $L\cap M$, mentre lo spazio vettoriale soggiacente a $𝕃\vee 𝕄$ è la somma dei sottospazi $L$ e $M$. Dalla formula di Grassmann segue allora che

$dim(𝕃\vee 𝕄)$ $=dim(L+M)$

$=dimL+dimM-dim(L\cap M)$

$=dim𝕃+dim𝕄-dim(𝕃\cap 𝕄)$

Se $𝕃$ e $𝕄$ sono sghembi, si ha $𝕃\cap 𝕄=\mathrm{\varnothing }$ e $L\cap M=\{0\}$. Avendo posto, per convenzione, $dim\mathrm{\varnothing }=-1$, si deduce che

$dim(𝕃\vee 𝕄)$ $=dim(L+M+⟨u⟩)$

$=dimL+dimM+1$

$=dim𝕃+dim𝕄-dim(𝕃\cap 𝕄)$

Se invece $𝕃$ e $𝕄$ non sono incidenti né sghembi, si ha $𝕃\cap 𝕄=\mathrm{\varnothing }$ e $L\cap M\ne \{0\}$, e dunque $dim(L\cap M)>0$. In questo caso si deduce facilmente che

$dim(𝕃\vee 𝕄)$ $=dim(L+M+⟨u⟩)$

$=dimL+dimM-dim(L\cap M)+1$

$=dim𝕃+dim𝕄-dim(𝕃\cap 𝕄)$