1 Lo spazio affine

Definizione. Uno spazio affine $\mathbb{A}$ sul campo $K$ è il dato di un insieme non vuoto $\mathcal{A}$ , detto l’insieme dei punti di $\mathbb{A}$ , di uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e di un’operazione

\mathcal{A}\times V\to\mathcal{A},\qquad(P,v)\mapsto Q=P+v

che soddisfa le seguenti proprietà:

1.

$(P+v_{1})+v_{2}=P+(v_{1}+v_{2})$ , per ogni $P\in\mathcal{A}$ e ogni $v_{1},v_{2}\in V$ ;
2.

$P+0=P$ , per ogni $P\in\mathcal{A}$ ;
3.

per ogni $P,Q\in\mathcal{A}$ esiste un unico vettore $v\in V$ tale che $Q=P+v$ .

Lo spazio vettoriale $V$ è detto lo spazio vettoriale soggiacente allo spazio affine $\mathbb{A}$ (o lo spazio direttore di $\mathbb{A}$ ) e la dimensione di $V$ è detta la dimensione dello spazio affine $\mathbb{A}$ . Uno spazio affine è detto di dimensione finita se lo spazio vettoriale soggiacente è finitamente generato.

Per semplicità considereremo esclusivamente spazi affini di dimensione finita.

Nel seguito uno spazio affine $\mathbb{A}=(\mathcal{A},V,+)$ verrà spesso identificato con il suo insieme di punti $\mathcal{A}$ . Per indicare che $P$ è un punto di $\mathbb{A}$ scriveremo dunque $P\in\mathbb{A}$ al posto di $P\in\mathcal{A}$ . Analogamente, per indicare che $v$ è un vettore appartenente allo spazio vettoriale $V$ soggiacente allo spazio affine $\mathbb{A}$ , potremo scrivere $v\in\mathbb{A}$ . Il significato di tali espressioni sarà sempre chiaro dal contesto.

Osservazione. Per ogni coppia di punti $P$ e $Q$ di uno spazio affine $\mathbb{A}$ , la proprietà (3) della definizione garantisce l’esistenza e l’unicità di un vettore $v$ tale che $Q=P+v$ ; tale vettore verrà indicato con la notazione $P Q$ . Ricavando formalmente $v$ dall’espressione $Q=P+v$ , scriveremo anche

v=PQ=Q-P

in modo da avere l’identità $P+(Q-P)=Q$ . Come già menzionato, il vettore $PQ=Q-P$ verrà rappresentato graficamente come un segmento orientato avente l’origine in $P$ e l’estremità della freccia nel punto $Q$ .

Osservazione. In uno spazio affine $\mathbb{A}=(\mathcal{A},V,+)$ il gruppo additivo dello spazio vettoriale $V$ agisce sull’insieme $\mathcal{A}$ dei punti di $\mathbb{A}$ ; tale azione è libera e transitiva. È facile verificare che uno spazio affine può essere definito, in modo del tutto equivalente, come un insieme non vuoto dotato di un’azione libera e transitiva del gruppo additivo di uno spazio vettoriale.

Per ogni punto $P$ di uno spazio affine $\mathbb{A}=(\mathcal{A},V,+)$ possiamo definire la funzione

f_{P}\colon V\to\mathcal{A},\qquad v\mapsto f_{P}(v)=P+v

Una conseguenza immediata della definizione è il seguente risultato:

Teorema. Per ogni punto $P$ di uno spazio affine $\mathbb{A}$ , la funzione $f_{P}\colon V\to\mathcal{A}$ è biiettiva.

Dimostrazione. L’iniettività e la suriettività di $f_{P}$ derivano della proprietà (3) della definizione.

Osservazione. L’esistenza di una biiezione tra l’insieme dei punti $\mathcal{A}$ e lo spazio vettoriale $V$ di uno spazio affine $\mathbb{A}=(\mathcal{A},V,+)$ permette di concludere che $\mathcal{A}$ può essere identificato con $V$ . Si noti tuttavia che non esiste alcuna biiezione canonica tra $V$ e $\mathcal{A}$ ; una tale biiezione dipende infatti dalla scelta di un punto $P$ di $\mathcal{A}$ . Osserviamo inoltre che nella biiezione $f_{P}\colon V\to\mathcal{A}$ il punto $P$ corrisponde al vettore nullo di $V$ . Possiamo quindi concludere che, in ogni spazio affine $\mathbb{A}$ , l’insieme dei punti può essere identificato con lo spazio vettoriale soggiacente solo dopo aver fissato (arbitrariamente) un punto di $\mathbb{A}$ .

Osservazione. Dato uno spazio affine $\mathbb{A}=(\mathcal{A},V,+)$ , per ogni vettore $v\in V$ la funzione

\tau_{v}\colon\mathcal{A}\to\mathcal{A},\qquad P\mapsto P+v

è detta la traslazione parallela al vettore $v$ . Se $v$ è il vettore nullo, $\tau_{0}$ è l’identità, mentre per ogni $v\neq 0$ , la traslazione $\tau_{v}$ è una biiezione priva di punti fissi, cioè $\tau_{v}(P)\neq P$ , per ogni $P\in\mathcal{A}$ e ogni $v\neq 0$ .

Esempio. Mostreremo ora come ogni spazio vettoriale possieda una struttura canonica di spazio affine.

Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$ , definiamo lo spazio affine $\mathbb{V}=(\mathcal{V},V,+)$ ad esso associato ponendo $\mathcal{V}=V$ . In questo modo l’operazione $+$ coincide con l’operazione di somma tra elementi di $V$ :

\mathcal{V}\times V\to\mathcal{V},\qquad(P,v)\mapsto P+v

È facile verificare che, con queste definizioni, $\mathbb{V}$ risulta essere uno spazio affine sul campo $K$ , avente $V$ come spazio vettoriale soggiacente. Notiamo che questa struttura di spazio affine dipende esclusivamente dalla struttura di spazio vettoriale di $V$ : essa è detta pertanto la struttura affine canonica dello spazio vettoriale $V$ .

Esempio. L’esempio fondamentale di spazio affine è fornito dallo spazio affine $n$ -dimensionale standard sul campo $K$ , che indicheremo con $\mathbb{A}^{n}_{K}$ . Si tratta dello spazio affine associato, in modo canonico, allo spazio vettoriale $K^{n}$ , come descritto nell’esempio precedente. $\mathbb{A}^{n}_{K}$ è dunque lo spazio affine il cui insieme di punti è l’insieme $K^{n}$ e il cui spazio direttore è lo spazio vettoriale $K^{n}$ . L’operazione di somma tra punti e vettori è definita come l’usuale somma componente per componente di due $n$ -uple di elementi di $K$ ; più precisamente, se $P=(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ è un punto e $v=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ è un vettore di $\mathbb{A}^{n}_{K}$ , si ha

Q=P+v=(p_{1}+a_{1},p_{2}+a_{2},\dots,p_{n}+a_{n})

È immediato verificare che le proprietà (1), (2) e (3) della definizione sono soddisfatte, quindi $\mathbb{A}^{n}_{K}$ è uno spazio affine. Si noti inoltre che, dalla definizione data, segue subito che se $P=(p_{1},p_{2},\dots,p_{n})$ e $Q=(q_{1},q_{2},\dots,q_{n})$ sono due punti di $\mathbb{A}^{n}_{K}$ , il vettore $v=Q-P$ è dato da

v=(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2},\dots,q_{n}-p_{n})

Come vedremo in seguito, questo esempio ha un’importanza particolare: infatti ogni spazio affine di dimensione $n$ sul campo $K$ risulta essere isomorfo (anche se non in modo canonico) allo spazio affine standard $\mathbb{A}^{n}_{K}$ .

Osservazione. Nello spazio affine $\mathbb{A}^{n}_{K}$ sia i punti che i vettori sono semplicemente delle $n$ -uple di elementi di $K$ . Osserviamo però che mentre la somma di un punto e un vettore, oppure la differenza di due punti, sono operazioni lecite, la somma di due punti, benché algebricamente possibile, non è un’operazione lecita. A tale riguardo facciamo notare che per distinguere le $n$ -uple di elementi di $K$ che rappresentano dei punti da quelle che rappresentano dei vettori è possibile adottare la seguente convenzione: ad ogni $n$ -upla $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\in K^{n}$ viene aggiunto un elemento $a_{0}\in\{0,1\}$ , con la convenzione che se $a_{0}=0$ la $n$ -upla $(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})$ rappresenta un vettore, mentre se $a_{0}=1$ tale $n$ -upla rappresenta un punto dello spazio affine. In altre parole, i vettori di $\mathbb{A}^{n}_{K}$ si scrivono nella forma

v=(0,a_{1},a_{2},\dots,a_{n})

mentre i punti si scrivono nella forma

A=(1,a_{1},a_{2},\dots,a_{n})

Si noti che tale convenzione è compatibile con la definizione delle operazioni tra punti e vettori di uno spazio affine: una combinazione lineare di vettori è ancora un vettore (la prima componente è $0$ ), la somma di un punto e di un vettore dà come risultato un punto (infatti, se osserviamo la prima componente, si ha $1+0=1$ ) e la differenza tra due punti è un vettore (nella prima componente si ha $1-1=0$ ). La somma di due punti, al contrario, non è un’operazione lecita; ciò è evidenziato dal fatto che, sommando due punti, si otterrebbe una $(n+1)$ -upla avente come prima componente $a_{0}=2$ , che non è un valore permesso.