Lezione 35

1 Il prodotto scalare hermitiano

Il campo $ℂ$ dei numeri complessi si può identificare con lo spazio vettoriale ${ℝ}^2$ associando a $z=a+ib\in ℂ$ il vettore $(a,b)\in {ℝ}^2$. Il quadrato della norma di tale vettore è uguale al quadrato del modulo del numero complesso $z$:

$${|z|}^2=z\overline{z}=a^2+b^2$$

(ricordiamo che il coniugato $\overline{z}$ di un numero complesso $z=a+ib$ è definito ponendo $\overline{z}=a-ib$).

In modo analogo, lo spazio vettoriale ${ℂ}^n$ si può identificare con ${ℝ}^{2n}$ associando a $(z_1,\mathrm{\dots },z_n)\in {ℂ}^n$ il vettore $(a_1,b_1,\mathrm{\dots },a_n,b_n)\in {ℝ}^{2n}$, ove $z_j=a_j+i{b}_j$, per $j=1,\mathrm{\dots },n$. Osserviamo che il quadrato della norma di tale vettore è dato da

$${\Vert (z_1,\mathrm{\dots },z_n)\Vert }^2=\sum _{j=1}^n{z}_j\overline{z_j}=\sum _{j=1}^n{|z_j|}^2=\sum _{j=1}^n(a_j^2+b_j^2)$$

Questo porta a introdurre un prodotto scalare in ${ℂ}^n$ che estende e generalizza il prodotto scalare euclideo già introdotto in ${ℝ}^n$.

Definizione. Dati due vettori $v=(z_1,z_2,\mathrm{\dots },z_n)$, $w=({\zeta }_1,{\zeta }_2,\mathrm{\dots },{\zeta }_n)$ di ${ℂ}^n$, il loro prodotto scalare (detto anche prodotto scalare hermitiano) è definito ponendo

$$v\cdot w=z_1{\overline{\zeta }}_1+z_2{\overline{\zeta }}_2+\mathrm{\cdots }+z_n{\overline{\zeta }}_n=\sum _{j=1}^n{z}_j{\overline{\zeta }}_j$$

In base a questa definizione, per ogni $v\in {ℂ}^n$, si ha

$$v\cdot v=\sum _{j=1}^n{z}_j{\overline{z}}_j=\sum _{j=1}^n{|z_j|}^2={\Vert v\Vert }^2$$

e quindi, come nel caso del prodotto scalare in ${ℝ}^n$, si ottiene

$$\Vert v\Vert =\sqrt{v\cdot v}$$

È importante osservare che mentre il prodotto scalare in ${ℝ}^n$ è simmetrico, nel caso del prodotto scalare hermitiano in ${ℂ}^n$ vale la seguente proprietà:

$$w\cdot v=\overline{v\cdot w}$$

per ogni $v,w\in {ℂ}^n$.

Più precisamente, il prodotto scalare hermitiano in ${ℂ}^n$ soddisfa le seguenti proprietà:

1. $({\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2)\cdot w={\lambda }_1{v}_1\cdot w+{\lambda }_2{v}_2\cdot w$,

2. $v\cdot ({\mu }_1{w}_1+{\mu }_2{w}_2)={\overline{\mu }}_{1}v\cdot w_1+{\overline{\mu }}_{2}v\cdot w_2$,

3. $w\cdot v=\overline{v\cdot w}$,

per ogni ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\mu }_1,{\mu }_2\in ℂ$ e ogni $v,v_1,v_2,w,w_1,w_2\in {ℂ}^n$.

La proprietà (1) afferma che il prodotto scalare è lineare nel primo argomento, mentre la (2) afferma che esso è coniugato-lineare (o antilineare) nel secondo.

Più in generale, possiamo dare la seguente definizione:

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo dei numeri complessi $ℂ$. Una forma sesquilineare su $V$ è una funzione

$$V\times V\to ℂ,(v,w)\mapsto g(v,w)$$

lineare rispetto al primo argomento e antilineare rispetto al secondo, cioè tale che

1. $g({\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2,w)={\lambda }_{1}g(v_1,w)+{\lambda }_{2}g(v_2,w)$,

2. $g(v,{\mu }_1{w}_1+{\mu }_2{w}_2)={\overline{\mu }}_{1}g(v,w_1)+{\overline{\mu }}_{2}g(v,w_2)$,

per ogni ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\mu }_1,{\mu }_2\in ℂ$ e ogni $v,v_1,v_2,w,w_1,w_2\in V$.

Una forma sesquilineare $g$ è detta hermitiana se

$$g(w,v)=\overline{g(v,w)}$$

per ogni $v,w\in V$.

Osservazione. Notiamo che se $g:V\times V\to ℂ$ è una forma hermitiana, per ogni vettore $v\in V$ si ha $g(v,v)=\overline{g(v,v)}$, da cui segue che $g(v,v)$ è un numero reale. Possiamo quindi estendere al caso delle forme hermitiane le definizioni di forma definita positiva, definita negativa, ecc.

Diremo quindi che la forma hermitiana $g$ è:

1. definita positiva se $g(v,v)>0$, per ogni $v\in V$, $v\ne 0$;

2. definita negativa se , per ogni $v\in V$, $v\ne 0$;

3. semidefinita positiva se $g(v,v)\ge 0$, per ogni $v\in V$;

4. semidefinita negativa se $g(v,v)\le 0$, per ogni $v\in V$;

5. indefinita se esistono $v,w\in V$ tali che $g(v,v)>0$ e .

Le definizioni e i risultati ottenuti per gli spazi vettoriali reali dotati di una forma bilineare simmetrica possono essere facilmente estesi agli spazi vettoriali complessi dotati di una forma hermitiana. Ad esempio: due vettori $v,w\in V$ si dicono ortogonali se $g(v,w)=0$, un vettore $v$ è normalizzato se $g(v,v)=1$, una base di $V$ si dice ortogonale se è formata da vettori a due a due ortogonali, una base ortonormale è una base ortogonale in cui tutti i vettori sono normalizzati, ecc.

1.1 Matrici associate alle forme hermitiane

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo $ℂ$ e sia $g$ una forma sesquilineare definita su $V$. Consideriamo una base $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ di $V$ e poniamo $g_{i,j}=g(v_i,v_j)$, per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$. Gli scalari $g_{i,j}$ formano una matrice quadrata, di ordine $n$, a coefficienti in $ℂ$.

Definizione. La matrice $G=\left(g_{i,j}\right)$ è detta la matrice della forma sesquilineare $g$, rispetto alla base $𝐯$ di $V$. Quando sarà opportuno indicare esplicitamente la dipendenza dalla base di $V$, scriveremo $G=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$.

La conoscenza della matrice di $g$ permette di calcolare $g(v,w)$ per ogni coppia di vettori $v,w\in V$. Infatti, esprimendo $v$ e $w$ come combinazioni lineari dei vettori della base di $V$,

$$v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i,w=\sum _{j=1}^n{\mu }_j{v}_j$$

grazie alla sesquilinearità di $g$, si ha:

$$g(v,w)=g(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i,\sum _{j=1}^n{\mu }_j{v}_j)=\sum _{i,j=1}^n{\lambda }_i{\overline{\mu }}_j{g}_{i,j}$$

Considerando i vettori ${({\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}$ e ${({\mu }_1,{\mu }_2,\mathrm{\dots },{\mu }_n)}^{𝐯}$, costituiti dalle componenti di $v$ e $w$ rispetto alla base $𝐯$ di $V$, è possibile esprimere $g(v,w)$ in termini di prodotti tra matrici e vettori come segue:

$$g(v,w)={({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}G{\left(\begin{array}{c}{\overline{\mu }}_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\overline{\mu }}_n\end{array}\right)}^{𝐯}={({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}{M}_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g){\left(\begin{array}{c}{\overline{\mu }}_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\overline{\mu }}_n\end{array}\right)}^{𝐯}$$

Ad ogni forma sesquilineare $g$ su $V$ possiamo quindi associare una matrice quadrata $G=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$ a coefficienti in $ℂ$ la quale, ovviamente, dipende dalla scelta di una base di $V$. È immediato verificare che la forma sesquilineare $g$ è hermitiana se e solo se $g_{i,j}={\overline{g}}_{j,i}$, per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$, cioè se e solo se la matrice $G$ è tale che $G={\overline{G}}^T$.

Definizione. Data una matrice $A\in M_n(ℂ)$ poniamo $A^{\ast }={\overline{A}}^T$. La matrice $A^{\ast }$ è detta la trasposta coniugata di $A$. $A$ è una matrice hermitiana se $A^{\ast }=A$. Se si ha $A^{\ast }=-A$, $A$ è detta anti-hermitiana.

Osservazione. Notiamo che se $A=(a_{i,j})\in M_n(ℂ)$ è una matrice hermitiana, gli elementi diagonali devono soddisfare la seguente proprietà: $a_{i,i}={\overline{a}}_{i,i}$. Da ciò si deduce che gli elementi sulla diagonale principale di una matrice hermitiana $A$ sono numeri reali e pertanto la traccia di $A$ è reale.

Osservazione. L’operazione di trasposizione coniugata soddisfa le proprietà seguenti:

$${(A^{\ast })}^{\ast }=A,{(A+B)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast },{(AB)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$$

1.2 Cambiamenti di base

La matrice associata a una forma sesquilineare $g$, definita su uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita $V$, dipende dalla scelta di una base di $V$. In questa sezione ci proponiamo di descrivere come cambia la matrice di $g$ in corrispondenza di un cambiamento della base di $V$.

Consideriamo quindi uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $ℂ$ e una forma sesquilineare $g$ su $V$. Siano $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ e ${𝐯}^{\prime }=\{v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_n^{\prime }\}$ due basi di $V$ e indichiamo con $G=(g_{i,j})=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$ la matrice di $g$ rispetto alla base $𝐯$ e con $G^{\prime }=(g_{i,j}^{\prime })=M_{{𝐯}^{\prime }{𝐯}^{\prime }}(g)$ la matrice di $g$ rispetto alla base ${𝐯}^{\prime }$. Ricordiamo che ciò significa che

$$g_{i,j}=g(v_i,v_j),\text{e}{g}_{i,j}^{\prime }=g(v_i^{\prime },v_j^{\prime })$$

per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$.

Sia $P$ la matrice le cui colonne sono le componenti dei vettori $v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_n^{\prime }$ della base ${𝐯}^{\prime }$ di $V$ calcolate rispetto alla base $𝐯$. Detto in altri termini, ciò significa che $P$ è la matrice associata all’applicazione identica ${\mathrm{id}}_V:V\to V$, rispetto alla base ${𝐯}^{\prime }$ del dominio e alla base $𝐯$ del codominio, $P=M_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}({\mathrm{id}}_V)$. Si ha pertanto

$$v_j^{\prime }=\sum _{i=1}^n{p}_{i,j}{v}_i$$

Siamo ora in grado di determinare la relazione esistente tra le due matrici $G=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$ e $G^{\prime }=M_{{𝐯}^{\prime }{𝐯}^{\prime }}(g)$. Si ha infatti:

$g_{i,j}^{\prime }$ $=g(v_i^{\prime },v_j^{\prime })$

$=g({\displaystyle \sum _{h=1}^n}{p}_{h,i}{v}_h,{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_{k,j}{v}_k)$

$={\displaystyle \sum _{h,k=1}^n}{p}_{h,i}{\overline{p}}_{k,j}g(v_h,v_k)$

$={\displaystyle \sum _{h,k=1}^n}{p}_{h,i}{g}_{h,k}{\overline{p}}_{k,j}$

Questa uguaglianza può essere riscritta, in termini di matrici, come segue:

$$G^{\prime }=P^{T}G\overline{P},\text{cioè}{M}_{{𝐯}^{\prime }{𝐯}^{\prime }}(g)=M_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}{({\mathrm{id}}_V)}^T{M}_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g){\overline{M}}_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}({\mathrm{id}}_V)$$

Diamo ora la seguente definizione:

Definizione. Due matrici quadrate $G$ e $G^{\prime }$ di ordine $n$ a coefficienti in $ℂ$ si dicono *congruenti se esiste una matrice invertibile $P\in {\mathrm{GL}}_n(ℂ)$ tale che

$$G^{\prime }=P^{T}G\overline{P}={\overline{P}}^{\ast }G\overline{P}$$

Da quanto sopra detto si deduce il seguente risultato:

Corollario. Due matrici $G,G^{\prime }\in M_n(ℂ)$ rappresentano la stessa forma sesquilineare $g$ definita su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $ℂ$, rispetto a basi diverse, se e solo se esse sono *congruenti.

Osserviamo che se $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ è una base ortonormale di $V$, la corrispondente matrice $G$ della forma sesquilineare $g$ è la matrice identica. In particolare, se $𝐯$ e ${𝐯}^{\prime }$ sono entrambe basi ortonormali di $V$, si ha $G=G^{\prime }=I$ e quindi la formula di cambiamento di base si riduce a $P^T\overline{P}=I$, che equivale a ${\overline{P}}^{T}P=I$, cioè $P^{\ast }={\overline{P}}^T=P^{-1}$. Ciò motiva la seguente definizione:

Definizione. Una matrice $P\in M_n(ℂ)$ è detta unitaria se $P^{\ast }P=I$.

È immediato verificare che l’insieme delle matrici unitarie

$$\mathrm{U}(n)=\{P\in M_n(ℂ):P^{\ast }P=I\}$$

è un gruppo rispetto all’operazione di moltiplicazione; tale gruppo è detto il gruppo unitario di ordine $n$.

Possiamo ora riassumere quanto detto come segue:

Teorema. La matrice di cambiamento di base da una base ortonormale di $V$ a un’altra base ortonormale di $V$ è una matrice unitaria.