1 Il teorema spettrale per le matrici simmetriche

Sia $(V,g)$ uno spazio vettoriale euclideo. Ricordiamo che $V$ è uno spazio vettoriale reale dotato di una forma bilineare simmetrica definita positiva $g$ e che abbiamo definito il prodotto scalare di due vettori $v,w\in V$ ponendo $v\cdot w=g(v,w)$ .

Definizione. Una funzione lineare $f\colon V\to V$ è detta simmetrica se

f(v)\cdot w=v\cdot f(w)

per ogni $v,w\in V$ .

Il seguente risultato afferma che, per verificare se una funzione lineare è simmetrica, è sufficiente verificare che l’uguaglianza precedente valga quando $v$ e $w$ sono scelti tra i vettori di una base di $V$ .

Lemma. Una funzione lineare $f\colon V\to V$ è simmetrica se e solo se $f(v_{i})\cdot v_{j}=v_{i}\cdot f(v_{j})$ , per ogni $i,j=1,\dots,n$ , ove i vettori $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ sono una base di $V$ .

Dimostrazione. La necessità della condizione enunciata è evidente. Supponiamo allora che, per ogni $i,j=1,\dots,n$ , valga l’uguaglianza $f(v_{i})\cdot v_{j}=v_{i}\cdot f(v_{j})$ e consideriamo due vettori qualunque $v,w\in V$ . Poiché $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ è una base di $V$ , si ha

v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i},\qquad w=\sum_{j=1}^{n}\mu_{j}v_{j}

Dalla linearità di $f$ e dalla bilinearità del prodotto scalare segue che

	$\displaystyle f(v)\cdot w$	$\displaystyle=\Big{(}\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(v_{i})\Big{)}\cdot\Big{(}\sum_% {j=1}^{n}\mu_{j}v_{j}\Big{)}$
		$\displaystyle=\sum_{i,j=1}^{n}\lambda_{i}\mu_{j}f(v_{i})\cdot v_{j}$
		$\displaystyle=\sum_{i,j=1}^{n}\lambda_{i}\mu_{j}v_{i}\cdot f(v_{j})$
		$\displaystyle=\Big{(}\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}v_{i}\Big{)}\cdot\Big{(}\sum_{j=% 1}^{n}\mu_{j}f(v_{j})\Big{)}$
		$\displaystyle=v\cdot f(w)$

il che dimostra che $f$ è simmetrica.

Il legame tra le funzioni lineari simmetriche e le matrici simmetriche è chiarito dal seguente risultato:

Teorema. Sia $\mathbf{v}=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ una base ortonormale di $V$ . Allora una funzione lineare $f\colon V\to V$ è simmetrica se e solo se la sua matrice rispetto alla base $\mathbf{v}$ è simmetrica.

Dimostrazione. Sia $f\colon V\to V$ una funzione lineare e sia $A=(a_{i,j})$ la sua matrice rispetto alla base ortonormale $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ . Si ha dunque

f(v_{j})=\sum_{l=1}^{n}a_{l,j}v_{l}

per ogni $j=1,\dots,n$ .

Ricordando che $v_{i}\cdot v_{j}=0$ , per ogni $i\neq j$ , mentre $v_{i}\cdot v_{i}=1$ , si ha

v_{i}\cdot f(v_{j})=v_{i}\cdot\Big{(}\sum_{l=1}^{n}a_{l,j}v_{l}\Big{)}=\sum_{l% =1}^{n}a_{l,j}v_{i}\cdot v_{l}=a_{i,j}

Per il lemma precedente, $f$ è simmetrica se e solo se, per ogni $i,j=1,\dots,n$ , si ha $v_{i}\cdot f(v_{j})=f(v_{i})\cdot v_{j}$ , cioè se e solo se $a_{i,j}=a_{j,i}$ , il che equivale a dire che la matrice $A$ è simmetrica.

Ora dimostreremo che ogni matrice simmetrica a coefficienti reali ha tutti i suoi autovalori reali. Per questo avremo bisogno del seguente risultato:

Lemma. Sia $v=(a_{1},a_{2},\dots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n}$ un vettore colonna e sia $\bar{v}=(\bar{a}_{1},\bar{a}_{2},\dots,\bar{a}_{n})$ il vettore complesso coniugato di $v$ . Allora si ha $v^{T}\bar{v}\geq 0$ e $v^{T}\bar{v}=0$ se e solo se $v=0$ .

Dimostrazione. La dimostrazione consiste in un semplice calcolo:

	$\displaystyle v^{T}\bar{v}$	$\displaystyle=(a_{1},\dots,a_{n})\begin{pmatrix}\bar{a}_{1}\\ \vdots\\ \bar{a}_{n}\end{pmatrix}$
		$\displaystyle=a_{1}\bar{a}_{1}+a_{2}\bar{a}_{2}+\cdots+a_{n}\bar{a}_{n}$
		$\displaystyle=\|a_{1}\|^{2}+\|a_{2}\|^{2}+\cdots+\|a_{n}\|^{2}$

ove abbiamo usato il fatto che, per ogni numero complesso $z$ , si ha $z\bar{z}=|z|^{2}$ . Si conclude pertanto che $v^{T}\bar{v}$ è una somma di quadrati di numeri reali, da cui segue immediatamente l’enunciato.

Siamo ora in grado di dimostrare il seguente risultato:

Teorema. Sia $A\in M_{n}(\mathbb{R})$ una matrice simmetrica, di ordine $n$ , a coefficienti reali. Allora $A$ possiede $n$ autovalori reali, non necessariamente distinti.

Dimostrazione. Sia $p_{A}(x)=\det(A-x\cdot I)$ il polinomio caratteristico di $A$ : $p_{A}(x)$ è un polinomio di grado $n$ a coefficienti reali. Per il teorema fondamentale dell’algebra, l’equazione $p_{A}(x)=0$ ha $n$ soluzioni nel campo complesso, quindi la matrice $A$ possiede $n$ autovalori (non necessariamente distinti) $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}\in\mathbb{C}$ . Ora dimostreremo che, in effetti, tutti gli autovalori di $A$ sono reali.

Sia dunque $\lambda\in\mathbb{C}$ uno degli autovalori di $A$ e sia $v\in\mathbb{C}^{n}$ un autovettore corrispondente; si ha così $Av=\lambda v$ . Prendendo il complesso coniugato di ambo i membri e ricordando che $\overline{A}=A$ , perché $A$ è una matrice a coefficienti reali, si ottiene l’uguaglianza $A\bar{v}=\bar{\lambda}\bar{v}$ . Applicando invece l’operazione di trasposizione ad ambo i membri dell’uguaglianza $Av=\lambda v$ , si ottiene $v^{T}A^{T}=\lambda v^{T}$ , che equivale a $v^{T}A=\lambda v^{T}$ , dato che, per ipotesi, $A^{T}=A$ . Ora moltiplichiamo ambo i membri di quest’ultima uguaglianza, a destra, per $\bar{v}$ :

v^{T}A\bar{v}=\lambda v^{T}\bar{v}

Ricordando che $A\bar{v}=\bar{\lambda}\bar{v}$ , si ottiene $\bar{\lambda}v^{T}\bar{v}=\lambda v^{T}\bar{v}$ , cioè $(\bar{\lambda}-\lambda)v^{T}\bar{v}=0$ . Poiché $v\neq 0$ , per il lemma precedente si ha $v^{T}\bar{v}>0$ , da cui si deduce che deve essere $\bar{\lambda}-\lambda=0$ , cioè $\bar{\lambda}=\lambda$ , il che significa che $\lambda\in\mathbb{R}$ .

Siamo ora in grado di dimostrare il cosiddetto teorema spettrale:

Teorema spettrale (per le matrici simmetriche). Siano $V$ uno spazio vettoriale euclideo e $f\colon V\to V$ una funzione lineare. Allora $f$ è ortogonalmente diagonalizzabile, cioè esiste una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $f$ , se e solo se $f$ è simmetrica.

Dimostrazione. Supponiamo che $f$ sia ortogonalmente diagonalizzabile, cioè che esista una base ortonormale $\mathbf{v}=\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ di $V$ ove i $v_{i}$ sono autovettori di $f$ . La matrice di $f$ rispetto a tale base è dunque una matrice diagonale e, pertanto, simmetrica. Per il teorema precedente, ciò implica che $f$ è una funzione lineare simmetrica.

Viceversa, dimostreremo che ogni funzione lineare simmetrica $f$ è ortogonalmente diagonalizzabile, ragionando per induzione sulla dimensione dello spazio vettoriale $V$ .

Se $\dim V=1$ , sia $v_{1}$ una base ortonormale di $V$ . Si ha dunque $f(v_{1})\in V$ , quindi $f(v_{1})=\lambda_{1}v_{1}$ , il che dimostra che $v_{1}$ è un autovettore di $f$ .

Supponiamo dunque che $V$ abbia dimensione $n>1$ e che il risultato valga per spazi vettoriali di dimensione $n-1$ . Se scegliamo arbitrariamente una base ortonormale $\{u_{1},u_{2},\dots,u_{n}\}$ di $V$ , sappiamo dal teorema precedente, che la matrice $A$ di $f$ rispetto a tale base è una matrice simmetrica e, in quanto tale, ha $n$ autovalori reali. Dato che gli autovalori di $A$ sono gli autovalori di $f$ , si conclude che tutti gli autovalori di $f$ sono reali.

Sia dunque $\lambda_{1}$ un autovalore di $f$ e sia $v_{1}$ un autovettore corrispondente. Indichiamo con $W$ il sottospazio di $V$ ortogonale al sottospazio generato dal vettore $v_{1}$ , $W=\langle v_{1}\rangle^{\perp}$ . Vogliamo dimostrare che, per ogni $w\in W$ , si ha anche $f(w)\in W$ , cioè che $f$ induce, per restrizione, una funzione lineare $f|_{W}\colon W\to W$ .

Dalla simmetria di $f$ segue infatti che, per ogni $w\in W$ , $v_{1}\cdot f(w)=f(v_{1})\cdot w=\lambda_{1}v_{1}\cdot w=0$ , quindi $f(w)\in\langle v_{1}\rangle^{\perp}=W$ . La funzione $f$ ristretta a $W$ , $f|_{W}\colon W\to W$ , è anch’essa una funzione lineare simmetrica quindi, dato che $\dim W=n-1$ , possiamo applicare l’ipotesi induttiva e concludere che esiste una base ortonormale $\{w_{2},\dots,w_{n}\}$ di $W$ costituita da autovettori di $f|_{W}$ , cioè da autovettori di $f$ . A questo punto basta porre $w_{1}=v_{1}/\|v_{1}\|$ ed osservare che i vettori $w_{1},w_{2},\dots,w_{n}$ sono una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $f$ .

Una conseguenza immediata di questo teorema è la seguente:

Corollario. Una matrice simmetrica $A$ di ordine $n$ a coefficienti reali è ortogonalmente diagonalizzabile, cioè esiste una base ortonormale di $\mathbb{R}^{n}$ costituita da autovettori di $A$ .

Dimostrazione. Basta applicare il teorema precedente allo spazio vettoriale euclideo $V=\mathbb{R}^{n}$ dotato del prodotto scalare usuale e alla funzione lineare $f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ definita da $f(v)=Av$ .

Osservazione. Il corollario precedente afferma che, data una matrice simmetrica $A$ di ordine $n$ a coefficienti reali, è sempre possibile trovare una matrice ortogonale $P$ (cioè $P$ è una matrice invertibile tale che $P^{-1}=P^{T}$ ), tale che la matrice $P^{-1}AP=P^{T}AP$ sia diagonale. Le colonne di una tale matrice $P$ sono una base ortonormale di $\mathbb{R}^{n}$ formata da autovettori di $A$ .

1 Il teorema spettrale per le matrici simmetriche

1.1 Funzioni lineari simmetriche