1 Basi ortogonali e ortonormali

Lezione 33

1 Basi ortogonali e ortonormali

In questa sezione dimostreremo che ogni spazio vettoriale reale $V$ di dimensione finita, dotato di una forma bilineare simmetrica definita positiva, ammette una base ortonormale. Descriveremo inoltre un procedimento che permette di costruire una base ortonormale partendo da una base qualunque di $V$ .

Iniziamo col dimostrare il seguente risultato:

Lemma. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale e sia $g$ una forma bilineare simmetrica definita positiva su $V$ . Se i vettori $v_{1},v_{2},\dots,v_{r}$ sono a due a due ortogonali, essi sono anche linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Consideriamo una combinazione lineare

\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\cdots+\lambda_{r}v_{r}=0

Per ogni $i=1,\dots,r$ , si ha

g\Big{(}v_{i},\sum_{j=1}^{r}\lambda_{j}v_{j}\Big{)}=\sum_{j=1}^{r}\lambda_{j}% \,g(v_{i},v_{j})=\lambda_{i}\,g(v_{i},v_{i})=0

dato che $g(v_{i},v_{j})=0$ per ogni $i\neq j$ . Essendo $g$ definita positiva, è $g(v_{i},v_{i})>0$ , quindi deve essere $\lambda_{i}=0$ . Questo dimostra che i vettori $v_{1},\dots,v_{r}$ sono linearmente indipendenti.

Possiamo ora dimostrare il seguente risultato:

Teorema. Ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione finita sul campo dei numeri reali, dotato di una forma bilineare simmetrica definita positiva $g$ , possiede una base ortonormale.

Dimostrazione. Procediamo per induzione su $n=\dim V$ . Se $n=1$ consideriamo un vettore non nullo $v\in V$ . Poiché $g$ è definita positiva, si ha $g(v,v)>0$ , quindi possiamo porre $w=v/\sqrt{g(v,v)}$ . Il vettore $w$ è normalizzato, cioè si ha $g(w,w)=1$ , e costituisce pertanto una base ortonormale di $V$ .

Supponiamo quindi che il teorema valga per ogni spazio vettoriale reale di dimensione $n-1$ e dimostriamo che esso vale anche per spazi di dimensione $n$ . Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ , come nell’enunciato, e sia $v\in V$ un vettore non nullo. Consideriamo il sottospazio $W=\langle v\rangle^{\perp}$ dotato della forma bilineare simmetrica definita positiva indotta da $g$ . Si ha $\dim W=n-1$ pertanto, per l’ipotesi induttiva, $W$ possiede una base ortonormale $w_{1},\dots,w_{n-1}$ . Poiché, per ipotesi, $g$ è definita positiva, si ha $g(v,v)>0$ ; possiamo quindi porre $w_{n}=v/\sqrt{g(v,v)}$ . è ora immediato verificare che $\{w_{1},\dots,w_{n-1},w_{n}\}$ è una base ortonormale di $V$ .

Osservazione. Nel caso di uno spazio vettoriale $V$ dotato di una forma bilineare simmetrica definita positiva $g$ , per construire una base ortonormale di $V$ si può utilizzare il procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt descritto in precedenza.

Partendo da una base $\mathbf{v}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ di $V$ , il procedimento di Gram–Schmidt produce una base ortonormale $\mathbf{w^{\prime}}=\{w^{\prime}_{1},\dots,w^{\prime}_{n}\}$ . Se indichiamo con $G$ la matrice di $g$ rispetto alla base $\mathbf{v}$ e con $G^{\prime}$ la matrice di $g$ rispetto alla base $\mathbf{w^{\prime}}$ , si ha

G^{\prime}=P^{T}GP

ove $P$ è la matrice di cambiamento di base, cioè la matrice le cui colonne sono le componenti dei vettori $w^{\prime}_{1},\dots,w^{\prime}_{n}$ della nuova base, rispetto ai vettori $v_{1},\dots,v_{n}$ della base originale di $V$ . Dato che $\mathbf{w^{\prime}}=\{w^{\prime}_{1},\dots,w^{\prime}_{n}\}$ è una base ortonormale, si ha

g^{\prime}_{i,j}=g(w^{\prime}_{i},w^{\prime}_{j})=\begin{cases}1&\text{se $i=j% $}\\ 0&\text{se $i\neq j$}\end{cases}

quindi $G^{\prime}$ è la matrice identica.

Osservazione. Si noti che ogni vettore $w^{\prime}_{j}$ della base ortonormale $\mathbf{w^{\prime}}$ si scrive come combinazione lineare dei vettori $v_{1},v_{2},\dots,v_{j}$ della base $\mathbf{v}$ . Ciò significa che, nella matrice di cambiamento di base $P$ , tutti gli elementi sotto la diagonale principale sono nulli; $P$ è quindi una matrice triangolare superiore.

Possiamo riassumere quanto detto finora come segue:

Teorema. Sia $G\in M_{n}(\mathbb{R})$ una matrice simmetrica definita positiva. Esiste una matrice invertibile $P\in{\rm GL}_{n}(\mathbb{R})$ tale che $P^{T}GP=I$ . Inoltre, tale matrice $P$ può essere scelta triangolare superiore.

Esempio. Applichiamo ora in un esempio concreto il metodo di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt descritto in precedenza. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale di dimensione $4$ e sia $g$ la forma bilineare simmetrica su $V$ di matrice

G=\begin{pmatrix}4&2&-2&2\\ 2&10&-7&-2\\ -2&-7&6&3\\ 2&-2&3&10\end{pmatrix}

rispetto alla base $\mathbf{v}=\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}$ di $V$ . Ci proponiamo di costruire una base ortonormale di $V$ .

Iniziamo ponendo $w_{1}=v_{1}$ . Si ha

g(w_{1},w_{1})=g(v_{1},v_{1})=4,\qquad g(w_{1},v_{2})=g(v_{1},v_{2})=2

quindi otteniamo

w_{2}=v_{2}-\frac{g(w_{1},v_{2})}{g(w_{1},w_{1})}\,w_{1}=v_{2}-\frac{1}{2}\,v_% {1}

Ora si ha:

	$\displaystyle g(w_{1},v_{3})$	$\displaystyle=g(v_{1},v_{3})=-2,$
	$\displaystyle g(w_{2},v_{3})$	$\displaystyle=g\Big{(}v_{2}-\frac{1}{2}\,v_{1},v_{3}\Big{)}=g(v_{2},v_{3})-% \frac{1}{2}\,g(v_{1},v_{3})=-6,$
	$\displaystyle g(w_{2},w_{2})$	$\displaystyle=g\Big{(}v_{2}-\frac{1}{2}\,v_{1},v_{2}-\frac{1}{2}\,v_{1}\Big{)}% =g(v_{2},v_{2})-g(v_{2},v_{1})+\frac{1}{4}\,g(v_{1},v_{1})=9$

Si ricava

w_{3}=v_{3}-\frac{g(w_{1},v_{3})}{g(w_{1},w_{1})}\,w_{1}-\frac{g(w_{2},v_{3})}% {g(w_{2},w_{2})}\,w_{2}=v_{3}+\frac{1}{6}\,v_{1}+\frac{2}{3}\,v_{2}

Infine, in modo del tutto analogo, si ha

w_{4}=v_{4}-\frac{g(w_{1},v_{4})}{g(w_{1},w_{1})}\,w_{1}-\frac{g(w_{2},v_{4})}% {g(w_{2},w_{2})}\,w_{2}-\frac{g(w_{3},v_{4})}{g(w_{3},w_{3})}\,w_{3}

Sviluppando i calcoli, si trova

\begin{aligned} g(w_{1},v_{4})&=2\\ g(w_{3},v_{4})&=2\end{aligned}\qquad\begin{aligned} g(w_{2},v_{4})&=-3\\ g(w_{3},w_{3})&=1\end{aligned}

da cui si ricava

w_{4}=-v_{1}-v_{2}-2v_{3}+v_{4}

Calcoliamo infine $g(w_{4},w_{4})$ :

g(w_{4},w_{4})=g(-v_{1}-v_{2}-2v_{3}+v_{4},-v_{1}-v_{2}-2v_{3}+v_{4})=4

Ora non rimane altro che normalizzare i vettori trovati:

	$\displaystyle w^{\prime}_{1}$	$\displaystyle=\frac{w_{1}}{\sqrt{g(w_{1},w_{1})}}=\frac{w_{1}}{\sqrt{4}}=\frac% {1}{2}\,v_{1},$
	$\displaystyle w^{\prime}_{2}$	$\displaystyle=\frac{w_{2}}{\sqrt{g(w_{2},w_{2})}}=\frac{w_{2}}{\sqrt{9}}=-% \frac{1}{6}\,v_{1}+\frac{1}{3}\,v_{2},$
	$\displaystyle w^{\prime}_{3}$	$\displaystyle=\frac{w_{3}}{\sqrt{g(w_{3},w_{3})}}=\frac{w_{3}}{\sqrt{1}}=\frac% {1}{6}\,v_{1}+\frac{2}{3}\,v_{2}+v_{3},$
	$\displaystyle w^{\prime}_{4}$	$\displaystyle=\frac{w_{4}}{\sqrt{g(w_{4},w_{4})}}=\frac{w_{4}}{\sqrt{4}}=-% \frac{1}{2}\,v_{1}-\frac{1}{2}\,v_{2}-v_{3}+\frac{1}{2}\,v_{4}$

La matrice di cambiamento di base è quindi

P=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\\[3.0pt] 0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{2}\\[3.0pt] 0&0&1&-1\\[3.0pt] 0&0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}

che, come si vede, è triangolare superiore. È ora immediato verificare che $P^{T}GP=I$ .

1.1 Matrici definite positive, negative, indefinite.

Terminiamo questa parte enunciando un utile criterio per stabilire se una matrice simmetrica a coefficienti reali è definita positiva, negativa o indefinita.

Sia $G=(g_{i,j})\in M_{n}(\mathbb{R})$ una matrice simmetrica. Per ogni $r=1,\dots,n$ indichiamo con $G_{r}$ la sottomatrice quadrata di $G$ costituita dagli elementi $g_{i,j}$ , con $1\leq i,j\leq r$ :

G_{1}=(g_{1,1}),G_{2}=\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}\\ g_{2,1}&g_{2,2}\end{pmatrix},\,\,G_{3}=\begin{pmatrix}g_{1,1}&g_{1,2}&g_{1,3}% \\ g_{2,1}&g_{2,2}&g_{2,3}\\ g_{3,1}&g_{3,2}&g_{3,3}\end{pmatrix},\dots,G_{n}=G

I determinanti delle matrici $G_{r}$ sono detti i minori principali di $G$ .

Teorema. Sia $G\in M_{n}(\mathbb{R})$ una matrice simmetrica, con $\det G\neq 0$ .

1.

$G$ è definita positiva se e solo se $\det G_{r}>0$ per ogni $r=1,\dots,n$ ;
2.

$G$ è definita negativa se e solo se $\det G_{r}<0$ per $r$ dispari e $\det G_{r}>0$ per $r$ pari;
3.

in tutti gli altri casi $G$ è indefinita.

Nella dimostrazione di questo teorema useremo il seguente risultato:

Lemma. Sia $G\in M_{n}(\mathbb{R})$ una matrice simmetrica e sia $P\in{\rm GL}_{n}(\mathbb{R})$ una matrice invertibile, triangolare superiore. Sia $G^{\prime}=P^{T}GP$ . Allora, per ogni $r=1,\dots,n$ , si ha anche $G^{\prime}_{r}=P^{T}_{r}G_{r}P_{r}$ . In particolare, ogni minore principale della matrice $G$ ha lo stesso segno del corrispondente minore principale della matrice $G^{\prime}$ .

Dimostrazione. Sia $G=(g_{i,j})$ , $G^{\prime}=(g^{\prime}_{i,j})$ e $P=(p_{i,j})$ . L’ipotesi che $P$ sia triangolare superiore equivale a dire che $p_{i,j}=0$ se $i>j$ . Con queste notazioni, l’uguaglianza $G^{\prime}=P^{T}GP$ si scrive nella forma

g^{\prime}_{i,j}=\sum_{h,k=1}^{n}p_{h,i}\,g_{h,k}\,p_{k,j}

Per ogni elemento $g^{\prime}_{i,j}$ della sottomatrice $G^{\prime}_{r}$ , si ha $i,j\leq r$ e, di conseguenza, $p_{h,i}=0$ e $p_{k,j}=0$ , per ogni $h,k>r$ . Se $i,j\leq r$ , si ha dunque

g^{\prime}_{i,j}=\sum_{h,k=1}^{n}p_{h,i}\,g_{h,k}\,p_{k,j}=\sum_{h,k=1}^{r}p_{% h,i}\,g_{h,k}\,p_{k,j}

che, in termini matriciali, equivale a $G^{\prime}_{r}=P^{T}_{r}G_{r}P_{r}$ . Da ciò si deduce che $\det G^{\prime}_{r}=\det G_{r}(\det P_{r})^{2}$ , quindi $\det G^{\prime}_{r}$ e $\det G_{r}$ hanno lo stesso segno.

Possiamo ora dimostrare il teorema.

(1) Sia $V$ uno spazio vettoriale reale con base $\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ e sia $g$ la forma bilineare simmetrica su $V$ la cui matrice, rispetto alla base data, è $G$ . Se $G$ è definita positiva esiste una matrice invertibile $P$ , triangolare superiore, tale che $P^{T}GP=I$ . Per il lemma precedente, i minori principali di $G$ hanno quindi lo stesso segno dei minori principali della matrice identica, pertanto sono tutti positivi.

Viceversa, supponiamo che la matrice $G$ abbia tutti i suoi minori principali positivi. Dobbiamo dimostrare che $G$ è definita positiva. Procediamo per induzione sull’ordine $n$ della matrice $G$ .

Se $n=1$ il risultato è ovvio. Supponiamo dunque che tale risultato valga per matrici di ordine $n-1$ . Per ipotesi induttiva, la sottomatrice $G_{n-1}$ è definita positiva. Osserviamo che $G_{n-1}$ è la matrice della restrizione della forma bilineare $g$ al sottospazio $W=\langle v_{1},\dots,v_{n-1}\rangle$ generato dai primi $n-1$ vettori della base di $V$ . Dato che $g$ ristretta a $W$ è definita positiva, possiamo applicare il procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt alla base $\{v_{1},\dots,v_{n-1}\}$ di $W$ per ottenere una base ortonormale $\{w_{1},\dots,w_{n-1}\}$ . Detta $\tilde{P}$ la corrispondente matrice di cambiamento di base (ricordiamo che essa è triangolare superiore), si ha ${\tilde{P}}^{T}G_{n-1}\tilde{P}=I_{n-1}$ .

Consideriamo ora il vettore

u=v_{n}-g(w_{1},v_{n})\,w_{1}-g(w_{2},v_{n})\,w_{2}-\cdots-g(w_{n-1},v_{n})\,w% _{n-1}

Si verifica facilmente che i vettori $w_{1},\dots,w_{n-1},u$ sono linearmente indipendenti, inoltre, ricordando che $g(w_{i},w_{j})=\delta_{i,j}$ , si ha $g(w_{i},u)=g(w_{i},v_{n})-g(w_{i},v_{n})=0$ , per $i=1,\dots,n-1$ . I vettori $w_{1},\dots,w_{n-1},u$ formano quindi una base ortogonale di $V$ . La matrice $G^{\prime}$ della forma bilineare simmetrica $g$ rispetto alla base $\{w_{1},\dots,w_{n-1},u\}$ è una matrice a blocchi del tipo

G^{\prime}=\begin{pmatrix}I_{n-1}&0\\ 0&\alpha\end{pmatrix}

ove $\alpha=g(u,u)$ . Si ha pertanto $G^{\prime}=P^{T}GP$ (ricordando come è stata costruita la base $\{w_{1},\dots,w_{n-1},u\}$ , si deduce che anche la matrice di cambiamento di base $P$ è triangolare superiore, inoltre si ha $P_{n-1}=\tilde{P}$ ). Da ciò segue che $\alpha=\det G^{\prime}=\det G(\det P)^{2}>0$ . Possiamo dunque normalizzare il vettore $u$ , dividendolo per $\sqrt{\alpha}$ . Ponendo $w_{n}=\frac{1}{\sqrt{\alpha}}\,u$ , si ottiene una base ortonormale $\{w_{1},\dots,w_{n-1},w_{n}\}$ di $V$ . L’esistenza di tale base ortonormale ci permette di concludere che la matrice $G$ è congruente alla matrice identica, e pertanto essa è definita positiva.

(2) $G$ è definita negativa se e solo se $-G$ è definita positiva, quindi, per il punto (1), se e solo se $\det(-G_{r})>0$ per $r=1,\dots,n$ . Per concludere basta osservare che $\det(-G_{r})=(-1)^{r}\det G_{r}$ .

(3) Quest’ultimo caso è una conseguenza immediata del Teorema di Sylvester. Da tale teorema si deduce infatti che, se $\det G\neq 0$ , la matrice $G$ può solo essere definita positiva, negativa oppure indefinita.