Lezione 32

1 Matrice associata a una forma bilineare

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo del numeri reali $K=ℝ$ e sia $g$ una forma bilineare definita su $V$. Consideriamo una base $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ di $V$ e poniamo $g_{i,j}=g(v_i,v_j)$, per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$. Gli scalari $g_{i,j}$ formano una matrice quadrata, di ordine $n$, a coefficienti in $K$.

Definizione. Con le notazioni precedenti, la matrice $G=(g_{i,j})$ è detta la matrice della forma bilineare $g$, rispetto alla base $𝐯$ di $V$. Quando sarà opportuno indicare esplicitamente la dipendenza dalla base di $V$, scriveremo $G=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$.

La conoscenza della matrice di $g$ permette di calcolare $g(v,w)$ per ogni coppia di vettori $v,w\in V$. Infatti, esprimendo $v$ e $w$ come combinazioni lineari dei vettori della base di $V$,

$$v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i,w=\sum _{j=1}^n{\mu }_j{v}_j$$

grazie alla bilinearità di $g$, si ha:

$$g(v,w)=g(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i,\sum _{j=1}^n{\mu }_j{v}_j)=\sum _{i,j=1}^n{\lambda }_i{\mu }_{j}g(v_i,v_j)=\sum _{i,j=1}^n{\lambda }_i{\mu }_j{g}_{i,j}$$

Considerando i vettori ${({\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}$ e ${({\mu }_1,{\mu }_2,\mathrm{\dots },{\mu }_n)}^{𝐯}$, costituiti dalle componenti di $v$ e $w$ rispetto alla base $𝐯$ di $V$, è possibile esprimere $g(v,w)$ in termini di prodotti tra matrici e vettori come segue:

$$g(v,w)={({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}G{\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_n\end{array}\right)}^{𝐯}={({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}{M}_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g){\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_n\end{array}\right)}^{𝐯}$$

Ad ogni forma bilineare $g$ su $V$ possiamo quindi associare una matrice quadrata $G=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$ a coefficienti in $K$ la quale, ovviamente, dipende dalla scelta di una base di $V$. È immediato verificare che la forma bilineare $g$ è simmetrica se e solo se $g_{i,j}=g_{j,i}$, per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$, cioè se e solo se $G$ è una matrice simmetrica. Analogamente, $g$ è antisimmetrica se e solo se $g_{i,j}=-g_{j,i}$, per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$, cioè se e solo se $G$ è una matrice antisimmetrica.

Osservazione. Siano $U$ e $W$ due sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V$ e sia $g_V=g_U\oplus g_W$, ove $g_U$ e $g_W$ sono delle forme bilineari definite su $U$ e $W$ rispettivamente. Sia $𝐮=\{u_1,\mathrm{\dots },u_r\}$ una base di $U$ e indichiamo con $G_U$ la matrice di $g_U$ rispetto alla base $𝐮$. Analogamente, consideriamo una base $𝐰=\{w_1,\mathrm{\dots },w_s\}$ di $W$ e indichiamo con $G_W$ la matrice di $g_W$ rispetto alla base $𝐰$. Se indichiamo con $G$ la matrice di $g_V$ rispetto alla base $𝐯$ di $V$ costituita dai vettori $u_1,\mathrm{\dots },u_r,w_1,\mathrm{\dots },w_s$, è immediato verificare che la matrice $G$ ha la seguente forma a blocchi

ove $0_{r,s}$ indica la matrice nulla con $r$ righe e $s$ colonne.

1.1 Nucleo di una forma bilineare

Descriviamo ora il nucleo di una forma bilineare simmetrica $g$ in termini della matrice ad essa associata:

Teorema. Siano $V$ uno spazio vettoriale su $K$, $g$ una forma bilineare simmetrica su $V$ e $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ una base di $V$. Indichiamo con $G\in M_n(K)$ la matrice di $g$ rispetto alla base $𝐯$ di $V$. Il nucleo di $g$ è l’insieme dei vettori $v$ del tipo $v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n$, ove la $n$-upla $({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo $GX=0$.

Dimostrazione. Un vettore $v={\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n$ appartiene al nucleo di $g$ se e solo se $g(w,v)=0$ per ogni $w\in V$. Poiché i vettori $v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n$ formano una base di $V$, ciò equivale a richiedere che $g(v_i,v)=0$, per $i=1,\mathrm{\dots },n$. Si ha dunque, per ogni vettore $v_i$ della base di $V$,

$g(v_i,v)$ $=g(v_i,{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n)$

$={\lambda }_{1}g(v_i,v_1)+{\lambda }_{2}g(v_i,v_2)+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_{n}g(v_i,v_n)$

$=g_{i,1}{\lambda }_1+g_{i,2}{\lambda }_2+\mathrm{\cdots }+g_{i,n}{\lambda }_n=0$

Queste sono precisamente le $n$ equazioni del sistema lineare

$$G\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \mathrm{⋮}\\ x_n\end{array}\right)=0$$

Corollario. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $K$. Una forma bilineare simmetrica $g$ definita su $V$ è non degenere se e solo se la sua matrice $G$, rispetto a una qualunque base di $V$, è non singolare, cioè se e solo se $detG\ne 0$.

Dimostrazione. Ricordiamo che $g$ è non degenere se e solo se $\mathrm{Ker}(g)=\{0\}$. In base al teorema precedente, ciò equivale a richiedere che il sistema lineare $GX=0$ abbia come unica soluzione il vettore nullo. Per il teorema di Cramer questo avviene se e solo se la matrice $G$ è non singolare.

1.2 Cambiamenti di base

La matrice associata a una forma bilineare $g$, definita su uno spazio vettoriale di dimensione finita $V$, dipende dalla scelta di una base di $V$. Vogliamo ora descrivere come cambia la matrice di $g$ in corrispondenza di un cambiamento della base di $V$.

Consideriamo quindi uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $K$ e una forma bilineare $g$ su $V$. Siano $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ e ${𝐯}^{\prime }=\{v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_n^{\prime }\}$ due basi di $V$ e indichiamo con $G=(g_{i,j})=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$ la matrice di $g$ rispetto alla base $𝐯$ e con $G^{\prime }=(g_{i,j}^{\prime })=M_{{𝐯}^{\prime }{𝐯}^{\prime }}(g)$ la matrice di $g$ rispetto alla base ${𝐯}^{\prime }$. Ricordiamo che ciò significa che

$$g_{i,j}=g(v_i,v_j),\text{e}{g}_{i,j}^{\prime }=g(v_i^{\prime },v_j^{\prime })$$

per ogni $i,j=1,\mathrm{\dots },n$.

Indichiamo con $P=(p_{i,j})$ la matrice della funzione identica ${\mathrm{id}}_V:V\to V$, rispetto alla base ${𝐯}^{\prime }$ del dominio e alla base $𝐯$ del codominio, $P=M_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}({\mathrm{id}}_V)$. Si ha

$$v_j^{\prime }=\sum _{i=1}^n{p}_{i,j}{v}_i$$

Siamo ora in grado di determinare la relazione esistente tra le due matrici $G=M_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)$ e $G^{\prime }=M_{{𝐯}^{\prime }{𝐯}^{\prime }}(g)$. Si ha infatti:

$g_{i,j}^{\prime }$ $=g(v_i^{\prime },v_j^{\prime })$

$=g({\displaystyle \sum _{h=1}^n}{p}_{h,i}{v}_h,{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{p}_{k,j}{v}_k)$

$={\displaystyle \sum _{h,k=1}^n}{p}_{h,i}{p}_{k,j}g(v_h,v_k)$

$={\displaystyle \sum _{h,k=1}^n}{p}_{h,i}{g}_{h,k}{p}_{k,j}$

Questa uguaglianza può essere riscritta, in termini di matrici, come segue:

$$G^{\prime }=P^{T}GP,\text{cioè}{M}_{{𝐯}^{\prime }{𝐯}^{\prime }}(g)={(M_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}({\mathrm{id}}_V))}^T{M}_{\mathrm{𝐯𝐯}}(g)M_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}({\mathrm{id}}_V)$$

Diamo ora la seguente definizione:

Definizione. Due matrici quadrate $G$ e $G^{\prime }$ di ordine $n$ a coefficienti in $K$ si dicono congruenti se esiste una matrice invertibile $P\in {\mathrm{GL}}_n(K)$ tale che

$$G^{\prime }=P^{T}GP$$

Da quanto sopra detto si deduce il seguente risultato:

Corollario. Due matrici $G,G^{\prime }\in M_n(K)$ rappresentano la stessa forma bilineare $g$ definita su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $K$, rispetto a basi diverse, se e solo se esse sono congruenti.

Osservazione. Si verifica facilmente che la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza sull’insieme $M_n(K)$ delle matrici quadrate di ordine $n$ a coefficienti in $K$.

Osserviamo che se $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ è una base ortonormale di $V$, la corrispondente matrice $G$ della forma bilineare $g$ è la matrice identica. In particolare, se $𝐯$ e ${𝐯}^{\prime }$ sono entrambe basi ortonormali di $V$, si ha $G=G^{\prime }=I$ e quindi la formula di cambiamento di base si riduce a $P^{T}P=I$, cioè $P^T=P^{-1}$. Ciò motiva la seguente definizione:

Definizione. Una matrice $P\in M_n(K)$ è detta matrice ortogonale se $P^{T}P=I$.

È immediato verificare che l’insieme delle matrici ortogonali

$$\mathrm{O}(n)=\{P\in M_n(K):P^{T}P=I\}$$

è un gruppo rispetto all’operazione di moltiplicazione; tale gruppo è detto il gruppo ortogonale di ordine $n$.

Possiamo riassumere quanto visto finora come segue:

Teorema. La matrice di cambiamento di base da una base ortonormale di $V$ a un’altra base ortonormale di $V$ è una matrice ortogonale.

Terminiamo questa sezione con la seguente definizione:

Definizione. Sia $G\in M_n(ℝ)$ una matrice simmetrica e sia $g:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$ la corrispondente forma bilineare simmetrica (cioè la forma bilineare la cui matrice, rispetto alla base canonica di ${ℝ}^n$, è $G$). La matrice $G$ è detta:

1. definita positiva se $g$ è definita positiva;

2. definita negativa se $g$ è definita negativa;

3. semidefinita positiva se $g$ è semidefinita positiva;

4. semidefinita negativa se $g$ è semidefinita negativa;

5. indefinita se $g$ è indefinita.