1 Forme bilineari simmetriche

Tutto ciò che abbiamo visto finora per il prodotto scalare in $\mathbb{R}^{n}$ può essere esteso al caso più generale delle forme bilineari simmetriche. Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo dei numeri reali $K=\mathbb{R}$ .

Definizione. Una forma bilineare su $V$ è una funzione

g\colon V\times V\to K,\qquad(v,w)\mapsto g(v,w)

lineare rispetto a ciascuno dei suoi due argomenti, cioè tale che

1.

$g(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2},w)=\lambda_{1}g(v_{1},w)+\lambda_{2}g(v_{2% },w)$ ,
2.

$g(v,\mu_{1}w_{1}+\mu_{2}w_{2})=\mu_{1}g(v,w_{1})+\mu_{2}g(v,w_{2})$ ,

per ogni $\lambda_{1},\lambda_{2},\mu_{1},\mu_{2}\in K$ e ogni $v,v_{1},v_{2},w,w_{1},w_{2}\in V$ .

Definizione. Una forma bilineare $g\colon V\times V\to K$ è detta simmetrica se $g(v,w)=g(w,v)$ , per ogni $v,w\in V$ . La forma $g$ è detta antisimmetrica (o alternante) se, per ogni $v,w\in V$ , si ha $g(v,w)=-g(w,v)$ .

Osservazione. Notiamo che ogni forma bilineare $g$ si può decomporre come segue

g(v,w)=g_{s}(v,w)+g_{a}(v,w)

ove $g_{s}$ e $g_{a}$ sono le due forme bilineari definite ponendo

g_{s}(v,w)=\frac{g(v,w)+g(w,v)}{2},\qquad g_{a}(v,w)=\frac{g(v,w)-g(w,v)}{2}

Poiché $g_{s}$ è una forma bilineare simmetrica mentre $g_{a}$ è una forma bilineare alternante, ciò significa che ogni forma bilineare su $V$ può essere espressa come somma di una forma bilineare simmetrica e di una forma bilineare alternante. Lo studio delle forme bilineari è quindi riconducibile allo studio delle forme bilineari simmetriche e di quelle alternanti. Nel seguito ci occuperemo esclusivamente dello studio delle forme bilineari simmetriche.

Sia $V$ uno spazio vettoriale e siano $U$ , $W$ due sottospazi vettoriali di $V$ tali che $V=U\oplus W$ . Siano inoltre

g_{U}\colon U\times U\to K,\qquad g_{W}\colon W\times W\to K

due forme bilineari definite, rispettivamente, su $U$ e su $W$ . Ricordando che ogni vettore $v\in V$ si può scrivere in modo unico come $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in W$ , definiamo una funzione

g_{V}\colon V\times V\to K

ponendo

g_{V}(u_{1}+w_{1},u_{2}+w_{2})=g_{U}(u_{1},u_{2})+g_{W}(w_{1},w_{2})

per ogni $u_{1},u_{2}\in U$ , $w_{1},w_{2}\in W$ . Si verifica facilmente che $g_{V}$ è una forma bilineare su $V$ e che essa è simmetrica se e solo se lo sono sia $g_{U}$ che $g_{W}$ .

Tale forma bilineare verrà indicata con $g_{V}=g_{U}\oplus g_{W}$ e detta la somma diretta (o somma ortogonale) di $g_{U}$ e $g_{W}$ .

Consideriamo ora una forma bilineare simmetrica $g$ definita su uno spazio vettoriale $V$ . Diamo la seguente definizione:

Definizione. Il nucleo di $g$ è il seguente sottoinsieme di $V$ :

{\rm Ker}(g)=\{v\in V\,:\,g(v,w)=0,\text{ per ogni }w\in V\}

Osservazione. Si dimostra facilmente, usando la bilinearità di $g$ , che ${\rm Ker}(g)$ è un sottospazio vettoriale di $V$ . Inoltre, dalla simmetria di $g$ , segue che è anche

{\rm Ker}(g)=\{w\in V\,:\,g(v,w)=0,\text{ per ogni }v\in V\}

Definizione. Una forma bilineare simmetrica $g\colon V\times V\to K$ è detta non degenere se ${\rm Ker}(g)=\{0\}$ . In caso contrario essa è detta degenere.

Per ogni spazio vettoriale $V$ indicheremo con $g_{0}$ la forma bilineare nulla su $V$ , cioè la forma bilineare definita ponendo $g_{0}(v,w)=0$ , per ogni $v,w\in V$ . Si noti che, per ogni forma bilineare simmetrica $g$ su $V$ , la restrizione di $g$ a ${\rm Ker}(g)\times{\rm Ker}(g)$ è la forma bilineare nulla sul sottospazio ${\rm Ker}(g)$ di $V$ .

Siamo ora in grado di enunciare e dimostrare il seguente risultato:

Teorema. Sia $g$ una forma bilineare simmetrica definita su uno spazio vettoriale $V$ . Esiste un sottospazio vettoriale $U$ di $V$ tale che:

1.

$V=U\oplus{\rm Ker}(g)$ ;
2.

la restrizione di $g$ a $U\times U$ , che indicheremo con $g_{U}$ , è una forma bilineare simmetrica non degenere su $U$ ;
3.

$g=g_{U}\oplus g_{0}$ , ove $g_{0}$ è la forma bilineare nulla su ${\rm Ker}(g)$ .

Dimostrazione. Dati $V$ e $g$ , esiste certamente un sottospazio vettoriale $U$ di $V$ tale che $V=U\oplus{\rm Ker}(g)$ . Indicando con $g_{U}$ la restrizione di $g$ a $U\times U$ e con $g_{0}$ la forma bilineare nulla definita su ${\rm Ker}(g)$ , consideriamo la forma bilineare $g_{U}\oplus g_{0}$ definita su $U\oplus{\rm Ker}(g)=V$ . Dobbiamo dimostrare che $g=g_{U}\oplus g_{0}$ .

Consideriamo dunque due vettori $v_{1},v_{2}\in V$ e scriviamo $v_{1}=u_{1}+w_{1}$ e $v_{2}=u_{2}+w_{2}$ , ove $u_{1},u_{2}\in U$ e $w_{1},w_{2}\in{\rm Ker}(g)$ . Si ha:

	$\displaystyle(g_{U}\oplus g_{0})(v_{1},v_{2})$	$\displaystyle=(g_{U}\oplus g_{0})(u_{1}+w_{1},u_{2}+w_{2})$
		$\displaystyle=g_{U}(u_{1},u_{2})+g_{0}(w_{1},w_{2})$
		$\displaystyle=g_{U}(u_{1},u_{2})=g(u_{1},u_{2})$

e

	$\displaystyle g(v_{1},v_{2})$	$\displaystyle=g(u_{1}+w_{1},u_{2}+w_{2})$
		$\displaystyle=g(u_{1},u_{2})+g(u_{1},w_{2})+g(w_{1},u_{2})+g(w_{1},w_{2})$

Dato che $w_{1},w_{2}\in{\rm Ker}(g)$ , si ha $g(u_{1},w_{2})=g(w_{1},u_{2})=g(w_{1},w_{2})=0$ e pertanto $g(v_{1},v_{2})=(g_{U}\oplus g_{0})(v_{1},v_{2})$ .

Rimane solo da dimostrare che la forma bilineare $g_{U}\colon U\times U\to K$ è non degenere. Consideriamo un vettore $u_{0}\in{\rm Ker}(g_{U})$ e un generico vettore $v\in V$ . Scrivendo $v$ nella forma $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in{\rm Ker}(g)$ , si ha

	$\displaystyle g(u_{0},v)$	$\displaystyle=g(u_{0},u+w)$
		$\displaystyle=g(u_{0},u)+g(u_{0},w)$
		$\displaystyle=g_{U}(u_{0},u)+0=0$

perché $w\in{\rm Ker}(g)$ e $u_{0}\in{\rm Ker}(g_{U})$ . Da ciò segue che $u_{0}\in{\rm Ker}(g)$ , quindi deve essere $u_{0}=0$ , dato che $U\cap{\rm Ker}(g)=\{0\}$ . Abbiamo così dimostrato che ${\rm Ker}(g_{U})=\{0\}$ , quindi $g_{U}$ è non degenere.

Osservazione. Il risultato precedente afferma che ogni forma bilineare simmetrica è somma diretta di una forma bilineare simmetrica non degenere e di una forma bilineare nulla. Possiamo quindi limitarci a studiare le forme bilineari simmetriche non degeneri.

Ricordando che il prodotto scalare usuale in $\mathbb{R}^{n}$ è una forma bilineare simmetrica non degenere, e ricordando inoltre la condizione di ortogonalità tra due vettori di $\mathbb{R}^{n}$ , possiamo dare la seguente definizione:

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare simmetrica non degenere $g$ . Due vettori $v,w\in V$ si dicono ortogonali se $g(v,w)=0$ . Due sottospazi vettoriali $U_{1},U_{2}\subseteq V$ si dicono ortogonali se $g(u_{1},u_{2})=0$ , per ogni $u_{1}\in U_{1}$ e ogni $u_{2}\in U_{2}$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare simmetrica $g$ . Un vettore $v\in V$ tale che $g(v,v)=0$ è detto isotropo. Un sottospazio $U\subseteq V$ è detto totalmente isotropo se la restrizione di $g$ a $U\times U$ è la forma bilineare nulla, cioè se $g(u_{1},u_{2})=0$ , per ogni $u_{1},u_{2}\in U$ .

Osservazione. Se $U\subseteq V$ è un sottospazio totalmente isotropo, allora ogni vettore $u\in U$ è un vettore isotropo. Si noti però che un sottospazio generato da vettori isotropi non è necessariamente totalmente isotropo. Se $u\in V$ è un vettore isotropo, certamente il sottospazio $\langle u\rangle$ da esso generato è un sottospazio totalmente isotropo, tuttavia se $u_{1}$ , $u_{2}\in V$ sono due vettori isotropi, non è detto che il sottospazio $U=\langle u_{1},u_{2}\rangle$ da essi generato sia un sottospazio totalmente isotropo. Infatti è ovviamente $g(u_{1},u_{1})=0$ e $g(u_{2},u_{2})=0$ , ma non è detto che sia anche $g(u_{1},u_{2})=0$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare simmetrica $g$ . Dato un sottoinsieme $S$ di $V$ definiamo il suo ortogonale ponendo

S^{\perp}=\{v\in V\,:\,g(v,w)=0,\forall w\in S\}

Per l’ortogonale di $S$ valgono tutte le proprietà già viste nel caso del prodotto scalare in $\mathbb{R}^{n}$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e $g\colon V\times V\to K$ una forma bilineare simmetrica. Una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ di $V$ costituita da vettori a due a due ortogonali è detta una base ortogonale di $V$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare simmetrica $g$ . Un vettore $v\in V$ si dice normalizzato se $g(v,v)=1$ .

Osservazione. Se $v$ è tale che $g(v,v)>0$ è possibile normalizzare il vettore $v$ dividendolo per $\sqrt{g(v,v)}$ . Infatti, ponendo $v^{\prime}=v/\sqrt{g(v,v)}$ , si ha:

\|v^{\prime}\|^{2}=g(v^{\prime},v^{\prime})=\frac{1}{\big{(}\sqrt{g(v,v)}\big{% )}^{2}}\,g(v,v)=1

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale dotato di una forma bilineare simmetrica $g$ . Una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ di $V$ si dice ortonormale se essa è una base ortogonale e se tutti i vettori $v_{1},\dots,v_{n}$ sono normalizzati, cioè se $g(v_{i},v_{j})=0$ per $i\neq j$ , mentre $g(v_{i},v_{i})=1$ , per ogni $i=1,\dots,n$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Una forma bilineare simmetrica $g$ su $V$ è detta:

1.

definita positiva se $g(v,v)>0$ , per ogni $v\in V$ , $v\neq 0$ ;
2.

definita negativa se $g(v,v)<0$ , per ogni $v\in V$ , $v\neq 0$ ;
3.

semidefinita positiva se $g(v,v)\geq 0$ , per ogni $v\in V$ ;
4.

semidefinita negativa se $g(v,v)\leq 0$ , per ogni $v\in V$ ;
5.

indefinita se esistono $v,w\in V$ tali che $g(v,v)>0$ e $g(w,w)<0$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale dotato di una forma bilineare simmetrica definita positiva $g$ . La norma di un vettore $v\in V$ è definita ponendo

\|v\|=\sqrt{g(v,v)}

La norma così definita soddisfa le seguenti proprietà, la cui verifica è immediata:

1.

$\|v\|\geq 0$ , per ogni $v\in V$ , e $\|v\|=0$ se e solo se $v=0$ ;
2.

$\|\lambda v\|=|\lambda|\|v\|$ , per ogni $\lambda\in\mathbb{R}$ e ogni $v\in V$ .

Come per l’usuale norma dei vettori in $\mathbb{R}^{n}$ , vale il seguente risultato:

Teorema (disuguaglianza di Cauchy–Schwarz). Sia $g$ una forma bilineare simmetrica definita positiva su uno spazio vettoriale reale $V$ . Per ogni coppia di vettori $v,w\in V$ , si ha

|g(v,w)|\leq\|v\|\|w\|

Inoltre vale il segno di uguaglianza se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti.

Una conseguenza immediata della disuguaglianza di Cauchy–Schwarz è la disuguaglianza triangolare:

Teorema (disuguaglianza triangolare. Sia $V$ uno spazio vettoriale reale dotato di una forma bilineare simmetrica definita positiva $g$ . Per ogni $v,w\in V$ , si ha

\|v+w\|\leq\|v\|+\|w\|