1 Spazi vettoriali euclidei

Lezione 28

1 Spazi vettoriali euclidei

1.1 Aree

Consideriamo due vettori $v,w\in\mathbb{R}^{n}$ . Poiché due vettori qualunque sono sempre contenuti in un piano (cioè in un sottospazio di dimensione $2$ di $\mathbb{R}^{n}$ ) possiamo concentrare la nostra attenzione su tale piano. Indichiamo con

\mathcal{P}(v,w)=\{\lambda v+\mu w\,:\,0\leq\lambda,\mu\leq 1\}

il parallelogramma determinato dai due vettori $v$ e $w$ , come nella figura seguente:

Figura che mostra un parallelogramma con lati v e w. Phi è l’angolo compreso tra v e w e h è l’altezza relativa alla base v

L’area di tale parallelogramma è data dal prodotto della lunghezza del vettore $v$ (la base) per l’altezza $h$ relativa a tale base. Indicando con $\phi$ l’angolo compreso tra i vettori $v$ e $w$ , si ha $h=\|w\|\sin\phi$ . Otteniamo quindi:

{\rm Area}\mathcal{P}(v,w)=\|v\|\|w\|\sin\phi

Ricordando che $\sin^{2}\phi=1-\cos^{2}\phi$ , si trova

\sin^{2}\phi=1-\frac{(v\cdot w)^{2}}{\|v\|^{2}\|w\|^{2}}=\frac{\|v\|^{2}\|w\|^% {2}-(v\cdot w)^{2}}{\|v\|^{2}\|w\|^{2}}

Si ha dunque

\big{(}{\rm Area}\mathcal{P}(v,w)\big{)}^{2}=\|v\|^{2}\|w\|^{2}-(v\cdot w)^{2}% =(v\cdot v)(w\cdot w)-(v\cdot w)^{2}

Questa formula può essere riscritta come segue:

{\rm Area}\mathcal{P}(v,w)=\sqrt{\det\begin{pmatrix}v\cdot v&v\cdot w\\ w\cdot v&w\cdot w\end{pmatrix}}

Vedremo ora che se $n=2$ , cioè nel caso di due vettori $v,w\in\mathbb{R}^{2}$ , è possibile calcolare l’area del parallelogramma $\mathcal{P}(v,w)$ senza ricorrere al prodotto scalare.

Figura che mostra un parallelogramma con lati v e w e vertici O, E, B, H. Il parallelogramma si trova all’interno di un rettangolo con vertici O, A, B, C

Siano dunque $v=(a_{1},a_{2})$ , $w=(b_{1},b_{2})\in\mathbb{R}^{2}$ e consideriamo la situazione descritta nella figura a lato (ove, per semplicità, abbiamo supposto $a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\geq 0$ ). L’area del parallelogramma $\mathcal{P}(v,w)$ può essere ottenuta, per differenza di aree, dall’area del rettangolo $O A B C$ sottraendo le aree dei due rettangoli $A D E F$ e $C G H I$ e dei quattro triangoli $O D E$ , $B E F$ , $B H I$ e $O G H$ . Osservando che $\|OD\|=\|BI\|=a_{1}$ , $\|DE\|=\|AF\|=\|CG\|=\|HI\|=a_{2}$ , $\|CI\|=\|GH\|=\|DA\|=\|EF\|=b_{1}$ , $\|OG\|=\|BF\|=b_{2}$ , si ottiene:

		$\displaystyle{\rm Area}(OABC)=(a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})$
		$\displaystyle{\rm Area}(ODE)={\rm Area}(BHI)=\tfrac{1}{2}\,a_{1}a_{2}$
		$\displaystyle{\rm Area}(OGH)={\rm Area}(BEF)=\tfrac{1}{2}\,b_{1}b_{2}$
		$\displaystyle{\rm Area}(ADEF)={\rm Area}(CGHI)=b_{1}a_{2}$

da cui si ricava:

	$\displaystyle{\rm Area}\mathcal{P}(v,w)$	$\displaystyle=(a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})-a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-2b_{1}a_{2}$
		$\displaystyle=a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}=\det\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}$

Il determinante della matrice quadrata costituita dalle componenti dei due vettori $v$ e $w$ (scritti indifferentemente in colonna oppure in riga) fornisce quindi il valore dell’area del parallelogramma $\mathcal{P}(v,w)$ . Tuttavia, ricordando che

\det\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}b_{1}&a_{1}\\ b_{2}&a_{2}\end{pmatrix}

conviene prendere tale determinante in valore assoluto, per evitare il rischio di trovare valori negativi per l’area di un parallelogramma. Otteniamo così la seguente formula:

{\rm Area}\mathcal{P}(v,w)=\left|\det\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\ a_{2}&b_{2}\end{pmatrix}\right|

per ogni $v=(a_{1},a_{2})$ , $w=(b_{1},b_{2})\in\mathbb{R}^{2}$ .

1.2 Volumi

Passiamo ora al caso dei volumi. A tal fine consideriamo tre vettori $u,v,w\in\mathbb{R}^{n}$ e indichiamo con

\mathcal{P}(u,v,w)=\{\lambda u+\mu v+\nu w\,:\,0\leq\lambda,\mu,\nu\leq 1\}

il parallelepipedo da essi determinato. Poiché tre vettori qualunque di $\mathbb{R}^{n}$ sono sempre contenuti in un sottospazio di dimensione $3$ , possiamo concentrare la nostra attenzione su tale sottospazio tridimensionale. Consideriamo dunque la situazione schematizzata nella figura seguente:

Figura che mostra un parallelepipedo con lati u, v e w. h è l’altezza relativa alla base determinata dai vettori u e v

Il volume di tale parallelepipedo è dato dal prodotto dell’area del parallelogramma $\mathcal{P}(u,v)$ (l’area di base) per l’altezza $h$ relativa a tale base. Sviluppando i calcoli si trova la seguente formula per il volume:

{\rm Vol}\mathcal{P}(u,v,w)=\sqrt{\det\begin{pmatrix}u\cdot u&u\cdot v&u\cdot w% \\ v\cdot u&v\cdot v&v\cdot w\\ w\cdot u&w\cdot v&w\cdot w\end{pmatrix}}

Se $n=3$ , cioè nel caso di tre vettori $u,v,w\in\mathbb{R}^{3}$ , è possibile calcolare il volume del parallelepipedo $\mathcal{P}(u,v,w)$ anche come il valore assoluto del determinante della matrice le cui colonne (o righe) sono costituite dalle componenti dei vettori dati. Si può cioè dimostrare che, dati $u=(a_{1},a_{2},a_{3})$ , $v=(b_{1},b_{2},b_{3})$ , $w=(c_{1},c_{2},c_{3})\in\mathbb{R}^{3}$ , si ha

{\rm Vol}\mathcal{P}(u,v,w)=\left|\det\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\ a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\right|

1.3 Vettori ortogonali

Nel seguito considereremo lo spazio vettoriale $V=\mathbb{R}^{n}$ dotato del prodotto scalare precedentemente definito. Tale spazio è detto uno spazio euclideo. Abbiamo già visto che il prodotto scalare definisce una funzione bilineare simmetrica

V\times V\to\mathbb{R},\qquad(v,w)\mapsto v\cdot w

Nel seguito questa funzione bilineare simmetrica verrà indicata con $g$ , cioè poniamo $g(v,w)=v\cdot w$ . Useremo questa notazione perché in questo modo tutti i risultati che dimostreremo potranno essere facilmente estesi a spazi vettoriali dotati di prodotti scalari più generali di quello che abbiamo visto finora.

Definizione. Sia $V$ uno spazio euclideo. Due vettori $v,w\in V$ si dicono ortogonali se $g(v,w)=0$ . Due sottospazi vettoriali $U_{1},U_{2}\subseteq V$ si dicono ortogonali se $g(u_{1},u_{2})=0$ , per ogni $u_{1}\in U_{1}$ e ogni $u_{2}\in U_{2}$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio euclideo. Dato un sottoinsieme $S$ di $V$ definiamo il suo ortogonale ponendo

S^{\perp}=\{v\in V\,:\,g(v,w)=0,\forall w\in S\}

Teorema. Siano $V$ uno spazio euclideo e $S$ un sottoinsieme di $V$ . Allora:

1.

$S^{\perp}$ è un sottospazio vettoriale di $V$ ;
2.

Si ha $S\subseteq\langle S\rangle\subseteq(S^{\perp})^{\perp}$ , ove $\langle S\rangle$ denota il sottospazio vettoriale di $V$ generato da $S$ .

Dimostrazione. Per dimostrare la prima affermazione consideriamo due vettori $v_{1}$ , $v_{2}\in S^{\perp}$ e due scalari $\lambda_{1}$ , $\lambda_{2}\in\mathbb{R}$ . Per ogni $w\in S$ , si ha:

g(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2},w)=\lambda_{1}g(v_{1},w)+\lambda_{2}g(v_{2% },w)=\lambda_{1}\,0+\lambda_{2}\,0=0

quindi $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}\in S^{\perp}$ .

Per quanto riguarda la seconda affermazione, l’inclusione $S\subseteq\langle S\rangle$ è ovvia. Per dimostrare che $\langle S\rangle\subseteq(S^{\perp})^{\perp}$ consideriamo un generico vettore $w\in\langle S\rangle$ ; esso si potrà scrivere nella forma

w=\lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}w_{2}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}

per qualche $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in\mathbb{R}$ e qualche $w_{1},\dots,w_{r}\in S$ . Per ogni $v\in S^{\perp}$ , si ha

g(w,v)=g\Big{(}\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i},v\Big{)}=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{% i}\,g(w_{i},v)=0

dato che $w_{i}\in S$ e $v\in S^{\perp}$ . Ciò significa che $w$ è ortogonale a tutti i vettori di $S^{\perp}$ , quindi $w\in(S^{\perp})^{\perp}$ .

Teorema. Siano $V$ uno spazio euclideo e $S$ , $T$ due sottoinsiemi di $V$ . Valgono le seguenti proprietà:

1.

$S\subseteq T\Rightarrow T^{\perp}\subseteq S^{\perp}$ ;
2.

$S^{\perp}=\langle S\rangle^{\perp}$ .

Dimostrazione. (1) Sia $v\in T^{\perp}$ ; si ha $g(v,w)=0$ , per ogni $w\in T$ . Dato che $S\subseteq T$ , si ha quindi anche $g(v,w)=0$ , per ogni $w\in S$ , il che significa che $v\in S^{\perp}$ .

(2) Dall’inclusione $S\subseteq\langle S\rangle$ e dalla proprietà (1) segue che $\langle S\rangle^{\perp}\subseteq S^{\perp}$ . Per dimostrare l’inclusione opposta, consideriamo un vettore $v\in S^{\perp}$ . Ogni vettore $w\in\langle S\rangle$ si può esprimere nella forma

w=\lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}w_{2}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}

per qualche $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in\mathbb{R}$ e qualche $w_{1},\dots,w_{r}\in S$ . Si ha quindi

g(v,w)=g\Big{(}v,\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}\Big{)}=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{% i}\,g(v,w_{i})=0

Ciò significa che $v$ è ortogonale a tutti i vettori di $\langle S\rangle$ , quindi $v\in\langle S\rangle^{\perp}$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio euclideo. Una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ di $V$ costituita da vettori a due a due ortogonali è detta una base ortogonale di $V$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio euclideo. Un vettore $v\in V$ si dice normalizzato o anche versore se $g(v,v)=1$ .

Definizione. Sia $V$ uno spazio euclideo. Una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ di $V$ si dice ortonormale se essa è una base ortogonale e se tutti i vettori $v_{1},\dots,v_{n}$ sono normalizzati, cioè se $g(v_{i},v_{j})=0$ per $i\neq j$ , mentre $g(v_{i},v_{i})=1$ , per ogni $i=1,\dots,n$ .