Lezione 27

1 Spazi vettoriali euclidei

1.1 Lunghezza (modulo) di un vettore

Consideriamo un vettore $v=(a_1,a_2)\in {ℝ}^2$ nel piano euclideo, che possiamo rappresentare graficamente come nella figura seguente:

Il vettore $v$ è rappresentato dal segmento orientato $OP$, mentre le lunghezze dei segmenti $OQ$ e $PQ$ sono rispettivamente $|a_1|$ e $|a_2|$. Poiché il triangolo $\mathrm{△}OPQ$ è un triangolo rettangolo, dal teorema di Pitagora segue che

$${\Vert OP\Vert }^2={\Vert OQ\Vert }^2+{\Vert PQ\Vert }^2,$$

ove con il simbolo $\Vert AB\Vert$ indichiamo la lunghezza di un segmento $AB$. Ricordando che $\Vert OQ\Vert =|a_1|$ e $\Vert PQ\Vert =|a_2|$, si ottiene la seguente formula che esprime la lunghezza del segmento che rappresenta il vettore $v$:

$$\Vert OP\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

Consideriamo ora un vettore $v=(a_1,a_2,a_3)\in {ℝ}^3$, rappresentato dal segmento orientato $OP$ come nella figura seguente:

Dato che $\mathrm{△}OPQ$ è un triangolo rettangolo, si ha

$${\Vert OP\Vert }^2={\Vert OQ\Vert }^2+{\Vert PQ\Vert }^2$$

e osservando che anche il triangolo $\mathrm{△}OQR$ è rettangolo, si ha

$${\Vert OQ\Vert }^2={\Vert OR\Vert }^2+{\Vert QR\Vert }^2,$$

da cui segue che

$${\Vert OP\Vert }^2={\Vert OR\Vert }^2+{\Vert QR\Vert }^2+{\Vert PQ\Vert }^2$$

Notando che $\Vert OR\Vert =|a_1|$, $\Vert QR\Vert =|a_2|$ e $\Vert PQ\Vert =|a_3|$, si conclude che la lunghezza del segmento che rappresenta il vettore $v=(a_1,a_2,a_3)$ è data da

$$\Vert OP\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

Questi due risultati motivano la seguente definizione:

Definizione. Sia $v=(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)\in {ℝ}^n$. La lunghezza di $v$ (detta anche la norma o il modulo di $v$) è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti di $v$:

$$\Vert v\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2+\mathrm{\cdots }+a_n^2}$$

La norma definisce quindi una funzione

$${ℝ}^n\to ℝ,v\mapsto \Vert v\Vert$$

che soddisfa le seguenti proprietà:

1. $\Vert v\Vert \ge 0$, per ogni $v\in {ℝ}^n$, e $\Vert v\Vert =0$ se e solo se $v=0$;

2. $\Vert \lambda v\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert$, per ogni $\lambda \in ℝ$ e ogni $v\in {ℝ}^n$;

3. $\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert$, per ogni $v,w\in {ℝ}^n$.

La proprietà (1) è del tutto ovvia (una somma di quadrati di numeri reali è sempre $\ge 0$ ed è nulla se e solo se tutti i numeri in questione sono zero), mentre la proprietà (2) può essere verificata con un facile calcolo. La proprietà (3), detta disuguaglianza triangolare, ha un evidente significato geometrico: essa equivale al noto risultato di geometria euclidea che afferma che in ogni triangolo la lunghezza di un lato è minore della somma delle lunghezze degli altri due. La dimostrazione algebrica di questa proprietà verrà data in seguito.

1.2 Prodotto scalare e angolo tra due vettori

Due vettori non nulli $v$ e $w$ in ${ℝ}^2$ (oppure in ${ℝ}^3$) individuano due angoli la cui somma è un angolo giro. Con l’espressione “angolo compreso tra due vettori” noi intenderemo sempre l’angolo convesso (non orientato), cioè quello il cui valore è nell’intervallo $[0,\pi ]$.

Consideriamo dunque lo spazio vettoriale $V={ℝ}^2$, oppure $V={ℝ}^3$. In fisica viene definito il prodotto scalare di due vettori $v$ e $w\in V$ ponendo

$$v\cdot w=\Vert v\Vert \Vert w\Vert \cos \varphi ,$$

ove $\varphi$ è l’angolo compreso tra i due vettori (a tal proposito si noti che $\cos \varphi =\cos (2\pi -\varphi )$ quindi, nella definizione di prodotto scalare, non è importante quale dei due angoli determinati da $v$ e $w$ si considera). Il prodotto scalare definisce quindi una funzione

$$V\times V\to ℝ,(v,w)\mapsto v\cdot w.$$

Si può dimostrare che questa funzione è bilineare (cioè lineare rispetto a ciascuno dei suoi due argomenti) e simmetrica, cioè soddisfa le seguenti proprietà:

1. $(\lambda v)\cdot w=\lambda (v\cdot w)$,

2. $(v_1+v_2)\cdot w=v_1\cdot w+v_2\cdot w$,

3. $v\cdot (\mu w)=\mu (v\cdot w)$,

4. $v\cdot (w_1+w_2)=v\cdot w_1+v\cdot w_2$,

5. $v\cdot w=w\cdot v$,

per ogni $\lambda ,\mu \in ℝ$ e ogni $v,v_1,v_2,w,w_1,w_2\in V$.

Da queste proprietà è possibile ricavare una formula algebrica esplicita per calcolare il prodotto scalare di due vettori:

Teorema. Siano $v=(a_1,a_2)$, $w=(b_1,b_2)\in {ℝ}^2$ (oppure, $v=(a_1,a_2,a_3)$, $w=(b_1,b_2,b_3)\in {ℝ}^3$). Allora si ha:

$$v\cdot w=a_1{b}_1+a_2{b}_2\text{(rispettivamente, }v\cdot w=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\text{)}.$$

Dimostrazione. Effettuiamo la dimostrazione per ${ℝ}^3$ (il caso in cui $v,w\in {ℝ}^2$ è del tutto analogo). Siano dunque $v=(a_1,a_2,a_3)$, $w=(b_1,b_2,b_3)\in {ℝ}^3$ e indichiamo con $e_1$, $e_2$, $e_3$ i tre vettori della base canonica di ${ℝ}^3$. Possiamo quindi scrivere $v=a_1{e}_1+a_2{e}_2+a_3{e}_3$ e $w=b_1{e}_1+b_2{e}_2+b_3{e}_3$. Utilizzando la bilinearità del prodotto scalare si ottiene:

$$v\cdot w=(a_1{e}_1+a_2{e}_2+a_3{e}_3)\cdot (b_1{e}_1+b_2{e}_2+b_3{e}_3)=\sum _{i,j=1}^3{a}_i{b}_j(e_i\cdot e_j).$$

Notiamo che $e_i\cdot e_i={\Vert e_i\Vert }^2=1$ per $i=1,2,3$, mentre $e_i\cdot e_j=0$ per ogni $i\ne j$, perché i vettori della base canonica sono a due a due ortogonali. Sostituendo nell’espressione precedente si ottiene quindi

$$v\cdot w=\sum _{i=1}^3{a}_i{b}_i.$$

I risultati precedenti permettono di ricavare l’angolo $\varphi$ compreso tra due vettori non nulli $v$ e $w$ di ${ℝ}^2$ o ${ℝ}^3$. Si ha infatti:

$$\cos \varphi =\frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }.$$

Possiamo quindi concludere che, nel caso di vettori di ${ℝ}^2$ o ${ℝ}^3$, il prodotto scalare permette di calcolare sia la norma di un vettore che l’angolo (non orientato) formato da due vettori non nulli.

1.3 Il prodotto scalare in ${ℝ}^n$

I risultati ottenuti nei paragrafi precedenti motivano la seguente definizione:

Definizione. Dati due vettori $v=(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)$, $w=(b_1,b_2,\mathrm{\dots },b_n)$ di ${ℝ}^n$, il loro prodotto scalare è definito ponendo

$$v\cdot w=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{b}_n=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i.$$

In base a questa definizione, per ogni $v\in {ℝ}^n$, si ha

$$v\cdot v=\sum _{i=1}^n{a}_i^2={\Vert v\Vert }^2,$$

quindi

$$\Vert v\Vert =\sqrt{v\cdot v}$$

Per definire l’angolo $\varphi$ compreso tra due vettori non nulli di ${ℝ}^n$ vorremmo usare l’analogo della formula valida per vettori di ${ℝ}^2$ o ${ℝ}^3$. Tuttavia, dato che il coseno di un angolo assume solo valori compresi nell’intervallo $[-1,1]$, dobbiamo prima verificare che, per ogni coppia di vettori non nulli $v,w\in {ℝ}^n$, si abbia

$$-1\le \frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }\le 1.$$

Teorema (disuguaglianza di Cauchy–Schwarz). Per ogni coppia di vettori $v,w\in {ℝ}^n$, si ha

$$|v\cdot w|\le \Vert v\Vert \Vert w\Vert$$

Inoltre vale il segno di uguaglianza se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti.

Dimostrazione. Iniziamo col dimostrare la prima affermazione. Osserviamo che se uno dei due vettori è nullo, il risultato è banalmente verificato. Supponiamo quindi che $v$ e $w$ siano vettori non nulli. Ponendo $u_{\alpha }=v+\alpha w$, con $\alpha \in ℝ$, si ha:

$${\Vert u_{\alpha }\Vert }^2=u_{\alpha }\cdot u_{\alpha }=(v+\alpha w)\cdot (v+\alpha w)={\Vert v\Vert }^2+2\alpha (v\cdot w)+{\alpha }^2{\Vert w\Vert }^2\ge 0,$$

per ogni $\alpha \in ℝ$. Il trinomio di secondo grado in $\alpha$

$${\alpha }^2{\Vert w\Vert }^2+2\alpha (v\cdot w)+{\Vert v\Vert }^2$$

assume dunque sempre valori $\ge 0$, pertanto il suo discriminante deve essere $\le 0$. Si ha quindi

$$\mathrm{\Delta }=4{(v\cdot w)}^2-4{\Vert v\Vert }^2{\Vert w\Vert }^2\le 0,$$

da cui si deduce che $|v\cdot w|\le \Vert v\Vert \Vert w\Vert$.

Dimostriamo ora la seconda affermazione. Se i due vettori sono linearmente dipendenti uno dei due deve essere multiplo dell’altro. Possiamo supporre, ad esempio, che sia $w=\lambda v$, per qualche $\lambda \in ℝ$. In tal caso $\Vert w\Vert =|\lambda |\Vert v\Vert$ e si ottiene

$$|v\cdot w|=|v\cdot \lambda v|=|\lambda |{\Vert v\Vert }^2=\Vert v\Vert \Vert w\Vert$$

Viceversa, supponiamo che nella disuguaglianza di Cauchy–Schwarz valga il segno di uguaglianza. Si ha quindi

$$v\cdot w=\pm \Vert v\Vert \Vert w\Vert$$

Se $w=0$ i due vettori sono linearmente dipendenti; in caso contrario poniamo

e consideriamo il vettore $u=v+\overline{\alpha }w$. Si ha:

${\Vert u\Vert }^2$ $=(v+\overline{\alpha }w)\cdot (v+\overline{\alpha }w)$

$={\Vert v\Vert }^2+2\overline{\alpha }(v\cdot w)+{\overline{\alpha }}^2{\Vert w\Vert }^2$

$={\Vert v\Vert }^2\pm 2\overline{\alpha }\Vert v\Vert \Vert w\Vert +{\overline{\alpha }}^2{\Vert w\Vert }^2$

$={\left(\Vert v\Vert \pm \overline{\alpha }\Vert w\Vert \right)}^2$

$={\left(\Vert v\Vert -\frac{\Vert v\Vert }{\Vert w\Vert }\Vert w\Vert \right)}^2=0$

Poiché l’unico vettore che ha norma nulla è il vettore nullo, si conclude che $u=v+\overline{\alpha }w=0$, il che dimostra che $v$ e $w$ sono linearmente dipendenti.

Dalla disuguaglianza di Cauchy–Schwarz segue che, per ogni coppia di vettori non nulli $v,w\in {ℝ}^n$, è

$$-1\le \frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }\le 1.$$

Inoltre, dalla dimostrazione precedente si deduce che è $\frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }=1$ se e solo se i vettori $v$ e $w$ sono paralleli e hanno lo stesso verso, mentre $\frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }=-1$ se e solo se $v$ e $w$ sono paralleli ma hanno versi opposti. Osservando che, per ogni numero reale $t\in [-1,1]$ esiste un unico angolo $\varphi \in [0,\pi ]$ tale che $t=\cos \varphi$, possiamo dare la seguente definizione:

Definizione. Dati due vettori non nulli $v,w\in {ℝ}^n$, l’angolo (non orientato) tra essi compreso è l’unico $\varphi \in [0,\pi ]$ tale che

$$\cos \varphi =\frac{v\cdot w}{\Vert v\Vert \Vert w\Vert }$$

Un’altra conseguenza della disuguaglianza di Cauchy–Schwarz è la cosiddetta disuguaglianza triangolare, che ora dimostreremo.

Teorema (disuguaglianza triangolare). Per ogni $v,w\in {ℝ}^n$, si ha

$$\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert$$

Dimostrazione. Si ha:

${\Vert v+w\Vert }^2$ $=(v+w)\cdot (v+w)$

$={\Vert v\Vert }^2+2(v\cdot w)+{\Vert w\Vert }^2$

$\le {\Vert v\Vert }^2+2|v\cdot w|+{\Vert w\Vert }^2$

$\le {\Vert v\Vert }^2+2\Vert v\Vert \Vert w\Vert +{\Vert w\Vert }^2$

$={(\Vert v\Vert +\Vert w\Vert )}^2$

Estraendo la radice quadrata si ottiene $\Vert v+w\Vert \le \Vert v\Vert +\Vert w\Vert$, come volevasi dimostrare.

Osservazione. Dalla definizione di angolo tra due vettori segue la seguente condizione di perpendicolarità: due vettori non nulli sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è zero. Infatti, si ha $v\cdot w=0$ se e solo se $\Vert v\Vert =0$ (e quindi $v=0$) oppure $\Vert w\Vert =0$ (cioè $w=0$) oppure ancora $\cos \varphi =0$ (cioè $\varphi =\frac{\pi }{2}$).