1 La forma canonica di Jordan

Nella lezione precedente abbiamo visto che, data una funzione lineare $f\colon V\to V$ , ove $V$ è uno spazio vettoriale definito sul campo dei numeri complessi, esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice di $f$ è una matrice a blocchi del tipo

A=\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots&0\\ 0&A_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&A_{r}\end{pmatrix}

ove ciascuna matrice $A_{i}$ è la matrice della restrizione di $f$ al sottospazio $V_{\lambda_{i}}$ rispetto alla base $\{w^{(i)}_{1},w^{(i)}_{2},\dots,w^{(i)}_{d_{i}}\}$ .

Concentriamo ora la nostra attenzione sulla restrizione di $f$ ad un singolo sottospazio $V_{\lambda_{i}}$ . Sia $m_{i}$ il massimo dei periodi degli elementi di $V_{\lambda_{i}}$ ; è $m_{i}\leq d_{i}=\dim V_{\lambda_{i}}$ e si ha la seguente catena di inclusioni

{\rm Ker}(f-\lambda_{i})\subset{\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{2}\subset\cdots% \subset{\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{m_{i}}=V_{\lambda_{i}},

ove tutte le inclusioni sono proprie. Possiamo quindi scegliere la base di $V_{\lambda_{i}}$ nel modo seguente: cominciamo scegliendo una base di ${\rm Ker}(f-\lambda_{i})$ , completiamola poi ad una base di ${\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{2}$ , che completeremo a sua volta ad una base di ${\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{3}$ e così via, sino ad ottenere una base di tutto $V_{\lambda_{i}}$ .

Ora osserviamo che, se $v\in{\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{k}$ , si ha

f(v)=\lambda_{i}v+(f-\lambda_{i})(v),

e $(f-\lambda_{i})(v)\in{\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{k-1}$ . Da ciò segue che, se $\{w^{(i)}_{1},w^{(i)}_{2},\dots,w^{(i)}_{d_{i}}\}$ è la base di $V_{\lambda_{i}}$ costruita nel modo appena descritto, si ha

f(w^{(i)}_{j})=\lambda_{i}w^{(i)}_{j}+\sum_{h=1}^{j-1}\alpha_{h}w^{(i)}_{h},

per ogni $j=1,\dots,d_{i}$ . Questo significa che la matrice $A_{i}$ di $f$ rispetto ad una tale base è del tipo

A_{i}=\begin{pmatrix}\lambda_{i}&*&*&\cdots&*\\ 0&\lambda_{i}&*&\cdots&*\\ 0&0&\lambda_{i}&\cdots&*\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&0&\cdots&0&\lambda_{i}\end{pmatrix}

cioè è una matrice triangolare superiore con tutti gli elementi diagonali uguali all’autovalore $\lambda_{i}$ .

Questo significa che ogni matrice quadrata $A$ , sul campo $\mathbb{C}$ dei numeri complessi, è simile ad una matrice diagonale a blocchi, dove i blocchi diagonali $A_{i}$ sono delle matrici triangolari superiori in cui gli elementi sulla diagonale principale sono gli autovalori $\lambda_{i}$ della matrice $A$ .

Possiamo però ottenere un risultato migliore. Concentriamo la nostra attenzione su un singolo autovalore, che indicheremo con $\lambda$ , e sul relativo sottospazio di autovettori generalizzati $V_{\lambda}$ . Indichiamo con $m$ il massimo dei periodi degli elementi di $V_{\lambda}$ e consideriamo la catena di inclusioni proprie

{\rm Ker}(f-\lambda)\subset{\rm Ker}(f-\lambda)^{2}\subset\cdots\subset{\rm Ker% }(f-\lambda)^{m}=V_{\lambda}.

Per ogni $j=1,\dots,m$ , poniamo $d_{j}=\dim{\rm Ker}(f-\lambda)^{j}$ .

Preso un vettore non nullo $v\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}\smallsetminus{\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1}$ , gli $m$ vettori

w_{m}=v,\,w_{m-1}=(f-\lambda)(v),\,w_{m-2}=(f-\lambda)^{2}(v),\dots,\,w_{1}=(f% -\lambda)^{m-1}(v),

sono linearmente indipendenti. Si noti che $(f-\lambda)(w_{1})=(f-\lambda)^{m}(v)=0$ , cioè

f(w_{1})=\lambda w_{1},

mentre

(f-\lambda)(w_{j})=(f-\lambda)(f-\lambda)^{m-j}(v)=(f-\lambda)^{m-j+1}(v)=w_{j% -1},

cioè

f(w_{j})=\lambda w_{j}+w_{j-1},

per $j=2,\dots,m$ .

Ciò significa che $f$ induce un endomorfismo del sottospazio di $V_{\lambda}$ generato dai vettori $w_{1},w_{2},\dots,w_{m}$ , la cui matrice, rispetto alla base $\{w_{1},w_{2},\dots,w_{m}\}$ di tale sottospazio è la seguente matrice quadrata di ordine $m$ :

J_{\lambda}=\begin{pmatrix}\lambda&1&0&0&\cdots&0\\ 0&\lambda&1&0&\cdots&0\\ 0&0&\lambda&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\lambda&1\\ 0&0&\cdots&0&0&\lambda\\ \end{pmatrix}

Una matrice di questo tipo è detta un blocco di Jordan di ordine $m$ relativo all’autovalore $\lambda$ .

Sia $s=d_{m}-d_{m-1}=\dim{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}-\dim{\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1}$ . Ricordiamo che $s\geq 1$ . Vogliamo dimostrare che la matrice della restrizione di $f$ al sottospazio $V_{\lambda}$ contiene, lungo la diagonale principale, $s$ blocchi di Jordan $J_{\lambda}$ di ordine $m$ . A tal fine consideriamo $s$ vettori

v_{1},v_{2},\dots,v_{s}\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}\smallsetminus{\rm Ker}(f-% \lambda)^{m-1}

tali che si abbia

{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}={\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1}\oplus\langle v_{1},\dots,v% _{s}\rangle.

Applicando a ciascuno dei vettori $v_{1},\dots,v_{s}$ il procedimento descritto in precedenza, otteniamo il seguente insieme di vettori:

		$\displaystyle v_{1},\,(f-\lambda)(v_{1}),\,(f-\lambda)^{2}(v_{1}),\,\dots,\,(f% -\lambda)^{m-1}(v_{1}),$
		$\displaystyle v_{2},\,(f-\lambda)(v_{2}),\,(f-\lambda)^{2}(v_{2}),\,\dots,\,(f% -\lambda)^{m-1}(v_{2}),$
		$\displaystyle\cdots$
		$\displaystyle v_{s},\,(f-\lambda)(v_{s}),\,(f-\lambda)^{2}(v_{s}),\,\dots,\,(f% -\lambda)^{m-1}(v_{s})$

(ciascuna di queste righe corrisponde a un blocco di Jordan di ordine $m$ ).

Si tratta ora di dimostrare che tutti questi vettori sono linearmente indipendenti. Consideriamo una loro combinazione lineare

\alpha^{(0)}_{1}v_{1}+\cdots+\alpha^{(0)}_{s}v_{s}+\alpha^{(1)}_{1}(f-\lambda)% (v_{1})+\cdots+\alpha^{(1)}_{s}(f-\lambda)(v_{s})+\\ +\alpha^{(2)}_{1}(f-\lambda)^{2}(v_{1})+\cdots+\alpha^{(2)}_{s}(f-\lambda)^{2}% (v_{s})+\cdots\\ \cdots+\alpha^{(m-1)}_{1}(f-\lambda)^{m-1}(v_{1})+\cdots+\alpha^{(m-1)}_{s}(f-% \lambda)^{m-1}(v_{s})=0.

Lasciando solo $\alpha^{(0)}_{1}v_{1}+\cdots+\alpha^{(0)}_{s}v_{s}$ a primo membro e portando tutti gli altri addendi al secondo membro si deduce che

\alpha^{(0)}_{1}v_{1}+\cdots+\alpha^{(0)}_{s}v_{s}\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1},

da cui segue $\alpha^{(0)}_{1}=\alpha^{(0)}_{2}=\cdots=\alpha^{(0)}_{s}=0$ (si ricordi che si ha ${\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1}\cap\langle v_{1},\dots,v_{s}\rangle=\{0\}$ ).

La combinazione lineare precedente si riduce quindi a

\alpha^{(1)}_{1}(f-\lambda)(v_{1})+\cdots+\alpha^{(1)}_{s}(f-\lambda)(v_{s})+% \\ +\alpha^{(2)}_{1}(f-\lambda)^{2}(v_{1})+\cdots+\alpha^{(2)}_{s}(f-\lambda)^{2}% (v_{s})+\cdots\\ \cdots+\alpha^{(m-1)}_{1}(f-\lambda)^{m-1}(v_{1})+\cdots+\alpha^{(m-1)}_{s}(f-% \lambda)^{m-1}(v_{s})=0.

Procedendo come prima si ha

\alpha^{(1)}_{1}(f-\lambda)(v_{1})+\cdots+\alpha^{(1)}_{s}(f-\lambda)(v_{s})% \in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m-2},

quindi

\alpha^{(1)}_{1}v_{1}+\cdots+\alpha^{(1)}_{s}v_{s}\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1},

da cui, esattamente come prima, segue che $\alpha^{(1)}_{1}=\alpha^{(1)}_{2}=\cdots=\alpha^{(1)}_{s}=0$ .

Continuando in questo modo si dimostra che tutti i coefficienti $\alpha^{(i)}_{j}$ sono nulli, il che conclude la dimostrazione dell’indipendenza lineare.

Ora osserviamo che se $d_{m}-d_{m-1}=s$ allora $d_{i}-d_{i-1}\geq s$ per ogni $i=1,\dots,m$ (ove si intende che $d_{0}=\dim{\rm Ker}(f-\lambda)^{0}=0$ ). Infatti, dato che i vettori $v_{1},\dots,v_{s}$ hanno periodo $m$ , i vettori

(f-\lambda)^{m-i}(v_{1}),(f-\lambda)^{m-i}(v_{2}),\dots,(f-\lambda)^{m-i}(v_{s})

hanno periodo esattamente $i$ e, come abbiamo appena visto, sono linearmente indipendenti.

Se accade che $d_{i}-d_{i-1}=s$ , per ogni $i=1,\dots,m$ , si ha

		$\displaystyle\dim{\rm Ker}(f-\lambda)=s$
		$\displaystyle\dim{\rm Ker}(f-\lambda)^{2}=2s$
		$\displaystyle\cdots$
		$\displaystyle\dim{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}=ms$

e, dato che $V_{\lambda}={\rm Ker}(f-\lambda)^{m}$ , gli $m s$ vettori sono una base di $V_{\lambda}$ . Ricordando quanto visto in precedenza è ora immediato verificare che la matrice della restrizione di $f$ a $V_{\lambda}$ consiste di $s$ blocchi di Jordan di ordine $m$ :

\begin{pmatrix}J_{\lambda}&0&\cdots&0\\ 0&J_{\lambda}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&J_{\lambda}\end{pmatrix}

Se invece si ha $d_{i}-d_{i-1}>s$ , per qualche $i$ , indichiamo con $j$ il massimo indice $<m$ tale che $d_{j}-d_{j-1}=t>s$ e prendiamo dei vettori $w_{1},w_{2},\dots,w_{t-s}$ tali che si abbia

{\rm Ker}(f-\lambda)^{j}={\rm Ker}(f-\lambda)^{j-1}\oplus\langle(f-\lambda)^{m% -j}(v_{1}),\dots,(f-\lambda)^{m-j}(v_{s})\rangle\\ \oplus\langle w_{1},\dots,w_{t-s}\rangle.

Ragionando in modo analogo a quanto fatto in precedenza, si dimostra che i vettori

		$\displaystyle w_{1},(f-\lambda)(w_{1}),(f-\lambda)^{2}(w_{1}),\dots,(f-\lambda% )^{j-1}(w_{1}),$
		$\displaystyle w_{2},(f-\lambda)(w_{2}),(f-\lambda)^{2}(w_{2}),\dots,(f-\lambda% )^{j-1}(w_{2}),$
		$\displaystyle\cdots$
		$\displaystyle w_{t-s},(f-\lambda)(w_{t-s}),(f-\lambda)^{2}(w_{t-s}),\dots,(f-% \lambda)^{j-1}(w_{t-s})$

sono linearmente indipendenti. Da ciò segue che, in questo caso, la matrice della restrizione di $f$ a $V_{\lambda}$ contiene anche, lungo la diagonale principale, $t-s$ blocchi di Jordan relativi all’autovalore $\lambda$ , di ordine $j$ (oltre agli $s$ blocchi $J_{\lambda}$ di ordine $m$ già menzionati).

Procedendo in modo analogo con gli autovettori generalizzati di periodo via via minore, si arriva a concludere che, in generale, la matrice della restrizione di $f$ a $V_{\lambda}$ è una matrice diagonale a blocchi, in cui i blocchi diagonali sono dei blocchi di Jordan relativi all’autovalore $\lambda$ di ordine $\leq m$ , ove $m$ è il massimo dei periodi degli elementi di $V_{\lambda}$ (inoltre esiste almeno un blocco di Jordan di ordine esattamente $m$ ). Tale intero $m$ non è altro che l’esponente con cui il fattore $(x-\lambda)$ compare nel polinomio minimo di $f$ .

Abbiamo così dimostrato il seguente teorema:

Teorema di Jordan. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $\mathbb{C}$ e sia $f\colon V\to V$ una funzione lineare. Sia

p_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{e_{1}}(x-\lambda_{2})^{e_{2}}\cdots(x-\lambda_{r})^{% e_{r}}

il polinomio caratteristico di $f$ (in cui si suppone che gli autovalori $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ siano a due a due distinti). Allora esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice di $f$ è una matrice a blocchi del tipo

J=\begin{pmatrix}J_{1}&0&\cdots&0\\ 0&J_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&J_{r}\end{pmatrix}

ove ogni $J_{i}$ è, a sua volta, una matrice a blocchi del tipo

J_{i}=\begin{pmatrix}J^{1}_{\lambda_{i}}&0&\cdots&0\\ 0&J^{2}_{\lambda_{i}}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&J^{s_{i}}_{\lambda_{i}}\end{pmatrix}

ove $J^{1}_{\lambda_{i}},\dots,J^{s_{i}}_{\lambda_{i}}$ sono opportuni blocchi di Jordan relativi all’autovalore $\lambda_{i}$ .

Una matrice $J$ di questo tipo è detta forma canonica di Jordan e una base di $V$ rispetto a cui $f$ ha questa matrice è detta base di Jordan.