1 La forma canonica di Jordan

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $\mathbb{C}$ dei numeri complessi e sia $f\colon V\to V$ una funzione lineare.

Per ogni $\lambda\in\mathbb{C}$ indicheremo semplicemente con $\lambda\colon V\to V$ l’applicazione lineare data da $v\mapsto\lambda v$ .

Ricordiamo che $\lambda\in\mathbb{C}$ è un autovalore di $f$ se ${\rm Ker}(f-\lambda)\neq\{0\}$ e che un vettore non nullo $v\in V$ è un autovettore associato all’autovalore $\lambda$ se $v\in{\rm Ker}(f-\lambda)$ , cioè se $f(v)=\lambda v$ . Se $\lambda$ è un autovalore di $f$ , il sottospazio vettoriale ${\rm Ker}(f-\lambda)$ di $V$ è l’autospazio relativo all’autovalore $\lambda$ .

Ora generalizzeremo la nozione di autovettore. Per ogni intero $m>0$ indicheremo con $(f-\lambda)^{m}$ la funzione lineare ottenuta componendo $f-\lambda$ con sé stessa $m$ volte.

Definizione. Sia $\lambda\in\mathbb{C}$ un autovalore di $f\colon V\to V$ . Un vettore non nullo $v\in V$ è detto un autovettore generalizzato di $f$ , relativo all’autovalore $\lambda$ , se $v\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}$ , per qualche $m>0$ .

Il minimo $m$ per cui $v\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}$ è detto il periodo di $v$ (se $m=1$ , $v$ è un autovettore ordinario).

Si noti che valgono le seguenti inclusioni

{\rm Ker}(f-\lambda)\subseteq{\rm Ker}(f-\lambda)^{2}\subseteq\cdots\subseteq{% \rm Ker}(f-\lambda)^{m}\subseteq\cdots\subseteq V.

Indicheremo con

V_{\lambda}=\bigcup_{m>0}{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}

il sottospazio vettoriale di $V$ costituito dagli autovettori generalizzati relativi all’autovalore $\lambda$ . Naturalmente si ha $V_{\lambda}={\rm Ker}(f-\lambda)^{r}$ , per $r$ sufficientemente grande.

Lemma. Sia $v$ un autovettore generalizzato per $f$ , relativo all’autovalore $\lambda$ , e sia $m$ il periodo di $v$ (ciò significa che $v\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m}$ ma $v\not\in{\rm Ker}(f-\lambda)^{m-1}$ ). Allora gli $m$ vettori

v,\,(f-\lambda)(v),\,(f-\lambda)^{2}(v),\,\dots,\,(f-\lambda)^{m-1}(v)

sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Consideriamo una combinazione lineare

\alpha_{0}v+\alpha_{1}(f-\lambda)(v)+\alpha_{2}(f-\lambda)^{2}(v)+\cdots+% \alpha_{m-1}(f-\lambda)^{m-1}(v)=0.

Se applichiamo $(f-\lambda)^{m-1}$ ad ambo i membri (e ricordiamo che $(f-\lambda)^{m}(v)=0$ ), otteniamo

\alpha_{0}(f-\lambda)^{m-1}(v)+0=0,

da cui segue $\alpha_{0}=0$ . La precedente combinazione lineare si riduce pertanto a

\alpha_{1}(f-\lambda)(v)+\alpha_{2}(f-\lambda)^{2}(v)+\cdots+\alpha_{m-1}(f-% \lambda)^{m-1}(v)=0.

Applicando ora $(f-\lambda)^{m-2}$ ad ambo i membri, si ottiene

\alpha_{1}(f-\lambda)^{m-1}(v)+0=0,

da cui segue $\alpha_{1}=0$ . Continuando in questo modo si dimostra che tutti i coefficienti $\alpha_{i}$ sono nulli.

Da questo risultato discende che ogni autovettore generalizzato per $f$ ha periodo $\leq n$ . Infatti, se un autovettore generalizzato $v$ avesse periodo $m>n$ , gli $m$ vettori $v$ , $(f-\lambda)(v)$ , …, $(f-\lambda)^{m-1}(v)$ sarebbero linearmente indipendenti, il che è assurdo dato che $m>n=\dim V$ . Quindi si ha

V_{\lambda}={\rm Ker}(f-\lambda)^{n}.

Il risultato seguente è una generalizzazione, al caso degli autovettori generalizzati, del fatto che autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.

Teorema. Siano $V$ ed $f$ come sopra e siano $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ autovalori di $f$ , a due a due distinti. Per ogni $i=1,\dots,r$ , sia $v_{i}\in V_{\lambda_{i}}$ un autovettore generalizzato relativo all’autovalore $\lambda_{i}$ . Allora i vettori $v_{1},\dots,v_{r}$ sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Per ogni $i=1,\dots,r$ , indichiamo con $m_{i}$ il periodo di $v_{i}$ e consideriamo l’endomorfismo $(f-\lambda_{i})^{m_{i}-1}$ .

Come prima cosa osserviamo che, per ogni $i$ e $j$ , gli endomorfismi $(f-\lambda_{i})^{s}$ e $(f-\lambda_{j})^{t}$ commutano tra loro, per ogni $s,t\geq 1$ . Ciò discende dal fatto che le potenze di $f$ commutano tra loro e $f$ commuta con la moltiplicazione per ogni scalare $\lambda$ . Inoltre, per ogni $i=1,\dots,r$ , il vettore

w_{i}=(f-\lambda_{i})^{m_{i}-1}(v_{i})

è un autovettore di $f$ relativo all’autovalore $\lambda_{i}$ , infatti si ha

(f-\lambda_{i})(w_{i})=(f-\lambda_{i})(f-\lambda_{i})^{m_{i}-1}(v_{i})=(f-% \lambda_{i})^{m_{i}}(v_{i})=0.

Da ciò discende che

(f-\lambda_{j})^{m}(w_{i})=(\lambda_{i}-\lambda_{j})^{m}w_{i},

per ogni $i,j=1,\dots,r$ ed ogni $m\geq 1$ .

Consideriamo ora una combinazione lineare

\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{r}v_{r}=0

e applichiamo ad ambo i membri l’endomorfismo

(f-\lambda_{1})^{m_{1}-1}(f-\lambda_{2})^{m_{2}}(f-\lambda_{3})^{m_{3}}\cdots(% f-\lambda_{r})^{m_{r}}.

Da quanto detto in precedenza si ottiene:

\alpha_{1}(\lambda_{1}-\lambda_{2})^{m_{2}}(\lambda_{1}-\lambda_{3})^{m_{3}}% \cdots(\lambda_{1}-\lambda_{r})^{m_{r}}(f-\lambda_{1})^{m_{1}-1}(v_{1})=0

da cui, ricordando che gli autovalori $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ sono a due a due distinti, discende che $\alpha_{1}=0$ .

La combinazione lineare precedente si riduce quindi a

\alpha_{2}v_{2}+\cdots+\alpha_{r}v_{r}=0.

Applicando ora l’endomorfismo

(f-\lambda_{2})^{m_{2}-1}(f-\lambda_{3})^{m_{3}}\cdots(f-\lambda_{r})^{m_{r}}

si ottiene:

\alpha_{2}(\lambda_{2}-\lambda_{3})^{m_{3}}\cdots(\lambda_{2}-\lambda_{r})^{m_% {r}}(f-\lambda_{2})^{m_{2}-1}(v_{2})=0

da cui segue $\alpha_{2}=0$ .

Continuando in questo modo si dimostra che tutti gli $\alpha_{i}$ , $i=1,\dots,r$ , sono nulli.

Ricordiamo che, anche se una funzione lineare $f\colon V\to V$ possiede tutti i suoi autovalori nel campo di definizione $K$ (il che accade sempre, se $K$ è algebricamente chiuso), gli autovettori di $f$ potrebbero non generare l’intero spazio vettoriale $V$ . In tal caso non esiste una base di $V$ costituita da autovettori di $f$ , quindi $f$ non è diagonalizzabile. Vedremo ora che con gli autovettori generalizzati un problema del genere non si presenta.

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{C}$ . Per ogni endomorfismo $f\colon V\to V$ , esiste una base di $V$ costituita da autovettori generalizzati di $f$ .

Dimostrazione. Dimostreremo l’enunciato per induzione sulla dimensione di $V$ . Se $\dim V=1$ ogni funzione lineare $f\colon V\to V$ è data dalla moltiplicazione per uno scalare $\lambda$ , quindi ogni vettore non nullo $v\in V$ è autovettore di $f$ .

Supponiamo dunque che il risultato sia vero per tutti gli spazi vettoriali di dimensione strettamente minore di $n=\dim V$ . Sia $\lambda\in\mathbb{C}$ un autovalore di $f$ e sia $V_{\lambda}={\rm Ker}(f-\lambda)^{n}$ il sottospazio di $V$ costituito dagli autovettori generalizzati di $f$ relativi all’autovalore $\lambda$ . Se $V=V_{\lambda}$ la dimostrazione è terminata. In caso contrario poniamo $W_{\lambda}={\rm Im}(f-\lambda)^{n}$ . Vogliamo dimostrare che $V=V_{\lambda}\oplus W_{\lambda}$ .

Dato che $\dim V_{\lambda}+\dim W_{\lambda}=\dim V$ , è sufficiente dimostrare che $V_{\lambda}\cap W_{\lambda}=\{0\}$ . Sia dunque $v\in V_{\lambda}\cap W_{\lambda}$ . Dato che $v\in W_{\lambda}={\rm Im}(f-\lambda)^{n}$ , si ha $v=(f-\lambda)^{n}(u)$ , per qualche $u\in V$ . Ma, dato che $v\in V_{\lambda}={\rm Ker}(f-\lambda)^{n}$ , si ha $(f-\lambda)^{n}(v)=(f-\lambda)^{2n}(u)=0$ . Ciò significa che anche $u$ è un autovettore generalizzato per $f$ , relativo all’autovalore $\lambda$ e, poiché il periodo di ogni autovettore generalizzato è $\leq n$ , si deve avere $(f-\lambda)^{n}(u)=0$ , cioè $v=0$ .

Ora dimostriamo che $W_{\lambda}$ è stabile per $f$ , cioè che $f(W_{\lambda})\subseteq W_{\lambda}$ . Sia $v\in W_{\lambda}$ , allora $v=(f-\lambda)^{n}(u)$ , per qualche $u\in V$ . Si ha

f(v)=f\big{(}(f-\lambda)^{n}(u)\big{)}=(f-\lambda)^{n}\big{(}f(u)\big{)},

perché $f$ commuta con $(f-\lambda)^{n}$ . Ciò significa quindi che $f(v)\in W_{\lambda}$ , che è quello che volevamo dimostrare.

Possiamo così considerare lo spazio vettoriale $W_{\lambda}$ dotato della restrizione della funzione lineare $f$ . Poiché $\dim W_{\lambda}<\dim V$ , per l’ipotesi induttiva si ha che $W_{\lambda}$ è generato da autovettori generalizzati di $f$ . Questo conclude la dimostrazione.

Possiamo riassumere quanto visto finora nel seguente teorema:

Teorema. Siano $V$ ed $f$ come sopra. Siano $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ tutti gli autovalori di $f$ , che supponiamo essere a due a due distinti, e sia

p_{f}(x)=(x-\lambda_{1})^{e_{1}}(x-\lambda_{2})^{e_{2}}\cdots(x-\lambda_{r})^{% e_{r}}

il polinomio caratteristico di $f$ . Allora si ha:

1.

$V=V_{\lambda_{1}}\oplus V_{\lambda_{2}}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_{r}}$ , ove $V_{\lambda_{i}}$ è il sottospazio vettoriale costituito dagli autovettori generalizzati di $f$ relativi all’autovalore $\lambda_{i}$ .
2.

Ogni $V_{\lambda_{i}}$ è stabile per $f$ , cioè si ha

$f(V_{\lambda_{i}})\subseteq V_{\lambda_{i}},$

per ogni $i=1,\dots,r$ .
3.

$\dim V_{\lambda_{i}}=e_{i}$ , quindi si ha

$V_{\lambda_{i}}={\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{n}={\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{e_{i}},$

per ogni $i=1,\dots,r$ .

Dimostrazione. (1) Per il teorema precedente $V$ è generato da autovettori generalizzati di $f$ , cioè $V=V_{\lambda_{1}}+V_{\lambda_{2}}+\cdots+V_{\lambda_{r}}$ . Poiché abbiamo già dimostrato che autovettori generalizzati corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, tale somma è diretta.

(2) Ricordiamo che $f$ commuta con gli endomorfismi del tipo $(f-\lambda)^{m}$ , per ogni $\lambda$ e ogni $m\geq 1$ . Se $v\in V_{\lambda_{i}}$ si ha $(f-\lambda_{i})^{n}(v)=0$ , quindi

0=f\big{(}(f-\lambda_{i})^{n}(v)\big{)}=(f-\lambda_{i})^{n}\big{(}f(v)\big{)},

cioè $f(v)\in V_{\lambda_{i}}$ .

(3) Da quanto visto al punto (2) segue che $f$ induce un endomorfismo di $V_{\lambda_{i}}$ , per $i=1,\dots,r$ . La restrizione di $f$ a $V_{\lambda_{i}}$ ha come unico autovalore $\lambda_{i}$ , quindi il suo polinomio caratteristico è $(x-\lambda_{i})^{d_{i}}$ , ove $d_{i}=\dim V_{\lambda_{i}}$ . Dato che il polinomio caratteristico di $f$ è il prodotto dei polinomi caratteristici delle restrizioni di $f$ ai vari sottospazi $V_{\lambda_{i}}$ , si deve avere

(x-\lambda_{1})^{e_{1}}\cdots(x-\lambda_{r})^{e_{r}}=(x-\lambda_{1})^{d_{1}}% \cdots(x-\lambda_{r})^{d_{r}},

da cui segue $d_{i}=e_{i}$ , per ogni $i=1,\dots,r$ . Ricordando il lemma dimostrato prima, si ottiene

V_{\lambda_{i}}={\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{n}={\rm Ker}(f-\lambda_{i})^{e_{i}}.

Osservazione. Il punto (3) del teorema precedente afferma che il periodo di un autovettore generalizzato di $f$ relativo all’autovalore $\lambda_{i}$ è minore o uguale dell’esponente $e_{i}$ con cui il fattore $(x-\lambda_{i})$ compare nel polinomio caratteristico di $f$ , cioè il periodo di ogni autovettore generalizzato è minore o uguale della molteplicità algebrica dell’autovalore corrispondente.

Dai punti (1) e (2) del teorema precedente si deduce che, se scegliamo una base $\{w^{(i)}_{1},w^{(i)}_{2},\dots,w^{(i)}_{d_{i}}\}$ di $V_{\lambda_{i}}$ , per $i=1,\dots,r$ (ove $d_{i}=e_{i}=\dim V_{\lambda_{i}}$ ), allora l’insieme

\{w^{(1)}_{1},\dots,w^{(1)}_{d_{1}},w^{(2)}_{1},\dots,w^{(2)}_{d_{2}},\dots,w^% {(r)}_{1},\dots,w^{(r)}_{d_{r}}\}

è una base di $V$ rispetto alla quale la matrice di $f$ è una matrice a blocchi del tipo

A=\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots&0\\ 0&A_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&A_{r}\end{pmatrix}

ove ciascuna matrice $A_{i}$ (per $i=1,\dots,r$ ) è la matrice della restrizione di $f$ al sottospazio $V_{\lambda_{i}}$ rispetto alla base $\{w^{(i)}_{1},w^{(i)}_{2},\dots,w^{(i)}_{d_{i}}\}$ .