1 Autovalori e autovettori

Definizione. Sia $f$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita $V$ e sia $p_{f}(x)$ il suo polinomio caratteristico. Sia $\lambda\in K$ un autovalore di $f$ . La molteplicità (algebrica) di $\lambda$ è il più grande intero $m$ tale che $(x-\lambda)^{m}$ divida $p_{f}(x)$ . La dimensione dell’autospazio $V_{\lambda}={\rm Ker}(f-\lambda)$ è detta la molteplicità geometrica (o la nullità) di $\lambda$ .

Teorema. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, cioè: siano $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}$ autovalori di un endomorfismo $f$ , a due a due distinti, e sia $v_{i}$ un autovettore relativo all’autovalore $\lambda_{i}$ , per $i=1,\dots,r$ . Allora i vettori $v_{1}$ , …, $v_{r}$ sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Dimostriamo l’asserto per induzione su $r$ . Se $r=1$ si ha un solo autovettore $v_{1}$ il quale, essendo non nullo, è linearmente indipendente. Supponiamo quindi che l’asserto sia vero per $r-1$ autovettori. Consideriamo gli $r$ autovettori $v_{1}$ , …, $v_{r}$ e consideriamo una loro combinazione lineare

\alpha_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{r-1}v_{r-1}+\alpha_{r}v_{r}=0.

Applicando l’endomorfismo $f$ , e ricordando che $f(v_{i})=\lambda_{i}v_{i}$ , si ottiene

\alpha_{1}\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\alpha_{r-1}\lambda_{r-1}v_{r-1}+\alpha_{r}% \lambda_{r}v_{r}=0.

Moltiplicando la prima uguaglianza per $\lambda_{r}$ e sottraendo la seconda si ottiene

\alpha_{1}(\lambda_{r}-\lambda_{1})v_{1}+\cdots+\alpha_{r-1}(\lambda_{r}-% \lambda_{r-1})v_{r-1}=0.

Per ipotesi induttiva i vettori $v_{1}$ , …, $v_{r-1}$ sono linearmente indipendenti, quindi si deve avere

\alpha_{1}(\lambda_{r}-\lambda_{1})=\alpha_{2}(\lambda_{r}-\lambda_{2})=\dots=% \alpha_{r-1}(\lambda_{r}-\lambda_{r-1})=0.

Poiché gli autovalori $\lambda_{i}$ sono a due a due distinti, si deduce che

\alpha_{1}=\alpha_{2}=\dots=\alpha_{r-1}=0.

Sostituendo questi valori nell’equazione precedente, essa si riduce a $\alpha_{r}v_{r}=0$ , da cui segue $\alpha_{r}=0$ . Abbiamo così dimostrato che i vettori $v_{1}$ , …, $v_{r}$ sono linearmente indipendenti.

Le due molteplicità, algebrica e geometrica, di un autovalore di un endomorfismo soddisfano la seguente proprietà:

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $K$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$ . Sia $\lambda\in K$ un autovalore di $f$ di molteplicità algebrica $m$ . Allora si ha

\dim V_{\lambda}\leq m,

cioè la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale della sua molteplicità algebrica.

Dimostrazione. Sia $r=\dim V_{\lambda}$ e sia $v_{1},\dots,v_{r}$ una base di $V_{\lambda}$ . Completiamo, in modo arbitrario, tale base ad una base $v_{1},\dots,v_{r},v_{r+1},\dots,v_{n}$ di $V$ . Rispetto a questa base, la matrice $A$ di $f$ assume la seguente forma a blocchi

A=\begin{pmatrix}\lambda\cdot I_{r}&B\\ 0&C\end{pmatrix}

ove $I_{r}$ è la matrice identica di ordine $r$ , $B$ è una matrice con $r$ righe e $n-r$ colonne e $C$ è una matrice quadrata di ordine $n-r$ .

La matrice $A$ può dunque essere usata per calcolare il polinomio caratteristico di $f$ , ottenendo

p_{f}(x)=\det(A-x\cdot I)=\det\big{(}(\lambda-x)\cdot I_{r}\big{)}\det(C-x% \cdot I)=(\lambda-x)^{r}\det(C-x\cdot I).

Da ciò si deduce che $\lambda$ è una radice di molteplicità $\geq r$ del polinomio $p_{f}(x)$ , pertanto si ha $m\geq r=\dim V_{\lambda}$ , che è ciò che si voleva dimostrare.

Siamo ora in grado di dimostrare il seguente risultato:

Teorema. Sia $f\colon V\to V$ un endomorfismo di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ sul campo $K$ . Indichiamo con $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{r}$ , gli autovalori di $f$ in $K$ e con $m_{1},m_{2},\dots,m_{r}$ le rispettive molteplicità algebriche. Allora $f$ è diagonalizzabile se e solo se $m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r}=n$ e, per ogni autovalore $\lambda_{i}$ , la sua molteplicità geometrica coincide con la molteplicità algebrica.

Dimostrazione. Se $f$ è diagonalizzabile esiste una base di $V$ rispetto alla quale la matrice di $f$ è una matrice a blocchi del tipo

\begin{pmatrix}\lambda_{1}\cdot I_{m_{1}}&0&\cdots&0\\ 0&\lambda_{2}\cdot I_{m_{2}}&&0\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&\lambda_{r}\cdot I_{m_{r}}\end{pmatrix}

Utilizzando questa matrice per calcolare il polinomio caratteristico di $f$ , si trova

p_{f}(x)=(\lambda_{1}-x)^{m_{1}}(\lambda_{2}-x)^{m_{2}}\cdots(\lambda_{r}-x)^{% m_{r}},

da cui si deduce che $m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r}=\deg p_{f}(x)=n$ . Inoltre, poiché $f$ è diagonalizzabile, esiste una base di $V$ costituita da autovettori di $f$ , da cui segue che

\dim V_{\lambda_{1}}+\dim V_{\lambda_{2}}+\cdots+\dim V_{\lambda_{r}}=n=\dim V.

Viceversa, supponiamo che esistano $r$ autovalori di $f$ in $K$ , $\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{r}$ , di molteplicità algebrica rispettivamente $m_{1},m_{2},\dots,m_{r}$ , tali che $m_{1}+m_{2}+\cdots+m_{r}=n$ e che, per ogni autovalore $\lambda_{i}$ di $f$ , la sua molteplicità geometrica coincida con la molteplicità algebrica; dobbiamo dimostrare che esiste una base di $V$ costituita da autovettori di $f$ .

Dato che, per ipotesi, $\dim V_{\lambda_{i}}=m_{i}$ , per ogni autovalore $\lambda_{i}$ , esiste una base $v^{(i)}_{1}$ , $v^{(i)}_{2}$ , …, $v^{(i)}_{m_{i}}$ dell’autospazio $V_{\lambda_{i}}$ , per ogni $i=1,\dots,r$ . Poiché, sempre per ipotesi, è $m_{1}+\cdots+m_{r}=n$ , l’insieme

\{v^{(1)}_{1},\dots,v^{(1)}_{m_{1}},v^{(2)}_{1},\dots,v^{(2)}_{m_{2}},\dots,v^% {(r)}_{1},\dots,v^{(r)}_{m_{r}}\}

contiene esattamente $n$ vettori, i quali sono linearmente indipendenti, come si verifica facilmente ricordando che autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Questi $n$ vettori costituiscono quindi una base di $V$ . Abbiamo così costruito una base di $V$ formata da autovettori di $f$ ; $f$ è pertanto diagonalizzabile.

Osservazione. In base a quanto visto, possiamo affermare che un endomorfismo $f$ di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita su $K$ è diagonalizzabile se e solo se $f$ possiede autovalori $\lambda_{1},\dots,\lambda_{r}\in K$ e si ha

V=V_{\lambda_{1}}\oplus V_{\lambda_{2}}\oplus\cdots\oplus V_{\lambda_{r}}.