Lezione 19

1 La formula di Laplace per il calcolo del determinante

Data una matrice quadrata $A=(a_{i,j})$ di ordine $n$ a elementi nel campo $K$, per ogni $i,j\in \{1,\mathrm{\dots },n\}$ indicheremo con $A_{i,j}$ la matrice di ordine $n-1$ ottenuta da $A$ cancellando la sua $i$-esima riga e la sua $j$-esima colonna. Il determinante della matrice $A_{i,j}$ è detto il minore di indici $i$ e $j$ della matrice $A$. La quantità

$$a_{i,j}^{\ast }={(-1)}^{i+j}det(A_{i,j})$$

è detta il complemento algebrico o cofattore dell’elemento $a_{i,j}$ di $A$. La trasposta della matrice costituita dai complementi algebrici degli elementi di $A$ è detta la matrice aggiunta (o matrice dei cofattori) di $A$, e sarà indicata con $A^{\ast }$:

$$A^{\ast }={\left(a_{i,j}^{\ast }\right)}^T.$$

Possiamo ora dimostrare il seguente risultato, che fornisce un metodo molto utile per il calcolo del determinante di una matrice.

Teorema (formula di Laplace). Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$. Per ogni indice di riga $i$ si ha:

$$detA=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{i+h}{a}_{i,h}det(A_{i,h}).$$

Analogamente, per ogni indice di colonna $i$ si ha:

$$detA=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{h+i}{a}_{h,i}det(A_{h,i}).$$

La prima formula è detta sviluppo del determinante di $A$ secondo la $i$-esima riga, mentre la seconda è lo sviluppo del determinante di $A$ secondo la $i$-esima colonna.

Dimostrazione. Poiché il determinante di una matrice coincide con quello della sua trasposta, scambiando i ruoli delle righe e delle colonne della matrice $A$, la formula per lo sviluppo del determinante di $A$ secondo una riga si riduce alla formula per lo sviluppo del determinante di $A$ secondo una colonna. Pertanto è sufficiente dimostrarne una delle due, ad esempio quella per lo sviluppo del determinante di $A$ secondo una colonna.

Per iniziare vogliamo dimostrare che è sufficiente dimostrare la formula per la prima colonna. Supponiamo dunque che la formula di Laplace valga per lo sviluppo del determinante di $A$ secondo la prima colonna. Fissiamo un indice di colonna $i>1$ e scriviamo la matrice $A$ nella forma

ove $A_{(1)},\mathrm{\dots },A_{(n)}$ sono le colonne di $A$.

Mediante $i-1$ scambi di colonne contigue è possibile portare la $i$-esima colonna di $A$ al posto della prima colonna, ottenendo così la matrice

Poiché ad ogni scambio di due colonne il determinante cambia di segno, si ha

$$detA={(-1)}^{i-1}det{A}^{\prime }.$$

Possiamo ora sviluppare il determinante di $A^{\prime }=(a_{i,j}^{\prime })$ secondo la prima colonna, ottenendo

$$det{A}^{\prime }=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{h+1}{a}_{h,1}^{\prime }det(A_{h,1}^{\prime }).$$

Ma, dalla definizione di $A^{\prime }$, si vede che $a_{h,1}^{\prime }=a_{h,i}$ e $A_{h,1}^{\prime }=A_{h,i}$, quindi si ha

$$det{A}^{\prime }=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{h+1}{a}_{h,i}det(A_{h,i}).$$

Si conclude pertanto che

$$detA={(-1)}^{i-1}det{A}^{\prime }=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{h+i}{a}_{h,i}det(A_{h,i}),$$

che è precisamente lo sviluppo del determinante di $A$ secondo la $i$-esima colonna.

Non rimane altro che dimostrare la formula di Laplace per la prima colonna, cioè per $i=1$. Dobbiamo quindi dimostrare che

$$detA=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{h+1}{a}_{h,1}det(A_{h,1}).$$

Notiamo che $A_{h,1}$ è la seguente matrice quadrata di ordine $n-1$

Dalla definizione di determinante, si ha

$$det(A_{h,1})=\sum _{\tau }\mathrm{sgn}(\tau )a_{\tau (1),2}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (h-1),h}{a}_{\tau (h+1),h+1}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (n),n},$$

ove la sommatoria è estesa a tutte le permutazioni $\tau$ dell’insieme di $n-1$ elementi

$$\{1,2,\mathrm{\dots },h-1,h+1,\mathrm{\dots },n\}.$$

Si ottiene così la seguente espressione:

$detA$ $={\displaystyle \sum _{h=1}^n}{(-1)}^{h+1}{a}_{h,1}{\displaystyle \sum _{\tau }}\mathrm{sgn}(\tau )a_{\tau (1),2}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (h-1),h}{a}_{\tau (h+1),h+1}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (n),n}$

$={\displaystyle \sum _{h=1}^n}{\displaystyle \sum _{\tau }}{(-1)}^{h+1}\mathrm{sgn}(\tau )a_{h,1}{a}_{\tau (1),2}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (h-1),h}{a}_{\tau (h+1),h+1}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (n),n}.$

Ora alla permutazione

associamo la permutazione $\sigma$ definita da

Precisamente, $\sigma$ è definita ponendo:

Osserviamo che, al variare dell’indice $h$ da $1$ a $n$ e di $\tau$ nell’insieme delle permutazioni di $n-1$ elementi, le corrispondenti permutazioni $\sigma$ descrivono tutto l’insieme delle permutazioni degli $n$ elementi $\{1,2,\mathrm{\dots },n\}$.

L’ultima cosa che rimane da capire a questo punto è quale sia la relazione tra il segno di $\tau$ e quello della corrispondente permutazione $\sigma$.

Possiamo notare che $\sigma$ è ottenuta componendo la permutazione

con la permutazione ${\tau }^{\prime }$ definita da

Si ha infatti $\sigma ={\tau }^{\prime }\circ \xi$, come si può facilmente verificare. Da ciò segue che $\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}({\tau }^{\prime })\mathrm{sgn}(\xi )$. Ora osserviamo che le due permutazioni $\tau$ e ${\tau }^{\prime }$ hanno la stessa rappresentazione come prodotto di cicli disgiunti (nella rappresentazione di ${\tau }^{\prime }$ comparirebbe il ciclo di lunghezza uno $(h)$ la cui presenza è irrilevante, dato che esso rappresenta la permutazione identica), quindi $\mathrm{sgn}(\tau )=\mathrm{sgn}({\tau }^{\prime })$. Si ha poi $\mathrm{sgn}(\xi )={(-1)}^{h-1}={(-1)}^{h+1}$. Si ottiene così $\mathrm{sgn}(\sigma )={(-1)}^{h+1}\mathrm{sgn}(\tau )$ e lo sviluppo di Laplace può dunque essere riscritto come segue:

$detA$ $={\displaystyle \sum _{h=1}^n}{\displaystyle \sum _{\tau }}{(-1)}^{h+1}\mathrm{sgn}(\tau )a_{h,1}{a}_{\tau (1),2}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (h-1),h}{a}_{\tau (h+1),h+1}\mathrm{\cdots }{a}_{\tau (n),n}$

$={\displaystyle \sum _{\sigma }}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1),1}{a}_{\sigma (2),2}\mathrm{\cdots }{a}_{\sigma (h),h}{a}_{\sigma (h+1),h+1}\mathrm{\cdots }{a}_{\sigma (n),n}.$

Ma quest’ultima è proprio la definizione del determinante di $A$.

Come conseguenza diretta della formula di Laplace si ottiene che il prodotto di una matrice quadrata $A$ per la sua matrice dei cofattori $A^{\ast }$ è una matrice diagonale dove tutti gli elementi sulla diagonale principale sono uguali al determinante di $A$, cioè

$$A\cdot A^{\ast }=(detA)I.$$

Da ciò segue che, se il determinante di $A$ è diverso da $0$,

$$A\cdot \frac{1}{detA}{A}^{\ast }=I$$

e pertanto la matrice inversa di $A$ è

$$A^{-1}=\frac{1}{detA}{A}^{\ast }.$$

Descriviamo ora un’applicazione di questi risultati alla teoria dei sistemi lineari; si tratta di una formula, nota come regola di Cramer, che permette di esprimere la soluzione di un sistema di $n$ equazioni lineari in $n$ incognite.

Teorema (di Cramer). Sia $AX=B$ un sistema di $n$ equazioni lineari in $n$ incognite, ove

Se $detA$ è invertibile, il sistema ammette un’unica soluzione data, per ogni $i=1,\mathrm{\dots },n$, da

$$x_i={\mathrm{\Delta }}^{-1}{\mathrm{\Delta }}_i,$$

ove $\mathrm{\Delta }=detA$ e ${\mathrm{\Delta }}_i$ è il determinante della matrice ottenuta da $A$ sostituendo la sua $i$-esima colonna con la colonna $B$ dei termini noti.

Dimostrazione. Se $detA$ è invertibile, la matrice $A$ è invertibile, pertanto il sistema $AX=B$ ha un’unica soluzione data da $X=A^{-1}B$. Ricordando che l’inversa di $A$ è data dalla formula $A^{-1}={(detA)}^{-1}{A}^{\ast }$, sviluppando il prodotto righe per colonne di $A^{-1}$ per $B$ si ottiene

$$x_i={\mathrm{\Delta }}^{-1}\sum _{h=1}^n{(-1)}^{i+h}det(A_{h,i})b_h.$$

Consideriamo ora il determinante ${\mathrm{\Delta }}_i$ della matrice ottenuta da $A$ sostituendo la sua $i$-esima colonna con la colonna $B$ dei termini noti. Sviluppando ${\mathrm{\Delta }}_i$ secondo la $i$-esima colonna, si trova

$${\mathrm{\Delta }}_i=\sum _{h=1}^n{(-1)}^{i+h}{b}_{h}det(A_{h,i}),$$

da cui si deduce che $x_i={\mathrm{\Delta }}^{-1}{\mathrm{\Delta }}_i$, come volevasi dimostrare.

2 Minori e rango di una matrice

Sappiamo che una matrice quadrata di ordine $n$ a coefficienti in un campo $K$ è invertibile se e solo se ha rango $n$ o, equivalentemente, se e solo se il suo determinante è diverso da zero.

Ora vedremo che anche per matrici non quadrate esiste una relazione tra il rango e il determinante. Ovviamente se una matrice $A$ non è quadrata non possiamo considerare il determinante di $A$, tuttavia possiamo considerare i determinanti delle sottomatrici quadrate che si possono estrarre da $A$.

Sia $A$ una matrice con $m$ righe e $n$ colonne a coefficienti in un campo $K$. Fissiamo degli indici di riga e degli indici di colonna e poniamo $I=\{i_1,i_2,\mathrm{\dots },i_p\}$ e $J=\{j_1,j_2,\mathrm{\dots },j_q\}$. Indicheremo con $A_{I,J}$ la sottomatrice $p\times q$ di $A$ costituita dagli elementi comuni alle $p$ righe e alle $q$ colonne determinate dagli indici presenti in $I$ e $J$ rispettivamente.

Teorema. Se $B$ è una sottomatrice della matrice $A$, allora il rango di $B$ è minore o uguale al rango di $A$.

Dimostrazione. Siano $A$ una matrice $m\times n$, $I=\{i_1,i_2,\mathrm{\dots },i_p\}$ e $J=\{j_1,j_2,\mathrm{\dots },j_q\}$ due insiemi ordinati di indici e poniamo $B=A_{I,J}$. Consideriamo la sottomatrice $C=A_{I,N}$, ove $N=\{1,2,\mathrm{\dots },n\}$. Se interpretiamo il rango come rango per righe (cioè come massimo numero di righe linearmente indipendenti), allora la relazione

$$\mathrm{rango}(C)\le \mathrm{rango}(A)$$

è ovvia. D’altra parte, $B$ è anche una sottomatrice di $C$ e se, questa volta, interpretiamo il rango come rango per colonne, allora la relazione

$$\mathrm{rango}(B)\le \mathrm{rango}(C)$$

è ovvia. Da queste due disuguaglianze segue che $\mathrm{rango}(B)\le \mathrm{rango}(A)$.

Diamo ora la definizione di minore di una matrice:

Definizione. Sia $A$ una matrice $m\times n$. Un minore di ordine $k$ di $A$ (con $k\le \min (m,n)$) è il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine $k$ che si può estrarre da $A$.

Il seguente teorema stabilisce una relazione tra la nozione di rango e quella di determinante.

Teorema. Il rango di una matrice $A$ a coefficienti in un campo è uguale al massimo degli ordini delle sue sottomatrici quadrate invertibili, cioè al massimo degli ordini dei minori non nulli di $A$.

Dimostrazione. Sia $\rho$ il massimo degli ordini delle sottomatrici quadrate invertibili di $A$: si ha $\rho \le \mathrm{rango}(A)$. D’altra parte, posto $r=\mathrm{rango}(A)$, siano $A^{(i_1)}$, $A^{(i_2)}$, …, $A^{(i_r)}$ $r$ righe linearmente indipendenti di $A$. Allora la sottomatrice $A_{I,N}$ di $A$ (ove $I=\{i_1,i_2,\mathrm{\dots },i_r\}$ e $N=\{1,2,\mathrm{\dots },n\}$) ha rango $r$, quindi possiede $r$ colonne, di indici, $j_1$, $j_2$, …, $j_r$, che sono linearmente indipendenti. Posto $J=\{j_1,j_2,\mathrm{\dots },j_r\}$, ciò significa che la sottomatrice quadrata di ordine $r$ $A_{I,J}$ ha rango $r$, pertanto è invertibile. Da ciò segue che $\rho \ge r=\mathrm{rango}(A)$. Si conclude dunque che deve essere $\rho =\mathrm{rango}(A)$.

Osservazione. In base a questo risultato, il rango di una matrice $A$ può anche essere definito come il massimo ordine dei minori non nulli di $A$. Utilizzando quest’ultima come definizione del rango di una matrice, e ricordando che il determinante di una matrice coincide con quello della sua trasposta, il fatto che il rango di una matrice coincida con il rango della sua trasposta risulta del tutto ovvio.

2.1 Il principio dei minori orlati.

Sia data una matrice $A$ con $m$ righe e $n$ colonne e supponiamo di volerne calcolare il rango cercando di determinare il massimo ordine dei minori non nulli di $A$.

Supponiamo che $A$ non sia la matrice nulla e quindi che il suo rango sia $\ge 1$. Dovremo quindi calcolare i minori di ordine via via crescente, a partire da quelli di ordine $2$. Quando per un certo $r$ si sarà trovato un minore di ordine $r$ non nullo, mentre tutti i minori di ordine $r+1$ sono nulli (oppure non esistono, nel caso in cui $r=\min (m,n)$), si concluderà che $\mathrm{rango}(A)=r$. Infatti dall’annullarsi di tutti i minori di ordine $r+1$ segue l’annullarsi di ogni minore di ordine superiore: ciò si dimostra facilmente per induzione su $s$, sviluppando un minore di ordine $s>r+1$ secondo una sua riga o una sua colonna.

In realtà, nella situazione appena descritta non è necessario verificare che tutti i minori di ordine $r+1$ siano nulli; basta limitarsi a quei minori di ordine $r+1$ che contengono la sottomatrice quadrata di ordine $r$ con determinante diverso da zero che abbiamo considerato. Vale infatti il seguente risultato:

Teorema dei minori orlati. Sia $A$ una matrice $m\times n$ e sia $B=A_{I,J}$ una sottomatrice quadrata di ordine $r$ di $A$ tale che $detB\ne 0$. Supponiamo che ogni sottomatrice quadrata di ordine $r+1$ di $A$ ottenuta aggiungendo a $B$ una riga e una colonna di $A$ (i cosiddetti minori orlati di $B$) abbia determinante nullo. Allora $A$ ha rango $r$.

Dimostrazione. Sia $B=A_{I,J}$ con $I=\{i_1,i_2,\mathrm{\dots },i_r\}$ e $J=\{j_1,j_2,\mathrm{\dots },j_r\}$. Dall’ipotesi $detB\ne 0$ discende che le colonne di indici $j_1$, …, $j_r$ di $A$ sono linearmente indipendenti. La condizione sull’annullamento dei determinanti di tutti i minori orlati di $B$ implica che ogni altra colonna di $A$ è combinazione lineare delle colonne di indici $j_1$, …, $j_r$. Quindi $A$ ha rango $r$.