Lezione 15

1 Il duale di uno spazio vettoriale

Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, indicheremo con $V^{\ast }=\mathrm{Hom}(V,K)$ l’insieme delle funzioni lineari da $V$ in $K$. L’insieme $V^{\ast }$ ha una struttura naturale di spazio vettoriale su $K$, con le operazioni di somma e di prodotto per uno scalare definite ponendo

$({\varphi }_1+{\varphi }_2)(v)={\varphi }_1(v)+{\varphi }_2(v),$

$(\lambda \varphi )(v)=\lambda \left(\varphi (v)\right),$

per ogni ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\varphi \in V^{\ast }$, per ogni $\lambda \in K$ e per ogni $v\in V$.

Definizione. Lo spazio vettoriale $V^{\ast }=\mathrm{Hom}(V,K)$ è detto lo spazio vettoriale duale di $V$. Gli elementi di $V^{\ast }$ sono anche detti forme lineari su $V$.

Dato uno spazio vettoriale $V$ e il suo duale $V^{\ast }$, consideriamo la funzione

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V^{\ast }\to K,(v,\varphi )\mapsto ⟨v,\varphi ⟩=\varphi (v).$$

Notiamo che, per ogni ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in K$, per ogni $v_1,v_2\in V$ e per ogni $\varphi \in V^{\ast }$, si ha

$⟨{\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2,\varphi ⟩$ $=\varphi ({\lambda }_1{v}_1+{\lambda }_2{v}_2)$

$={\lambda }_1\varphi (v_1)+{\lambda }_2\varphi (v_2)$

$={\lambda }_1⟨v_1,\varphi ⟩+{\lambda }_2⟨v_2,\varphi ⟩,$

il che significa che questa funzione è lineare rispetto al suo primo argomento. In modo del tutto analogo, si ha anche

$⟨v,{\mu }_1{\varphi }_1+{\mu }_2{\varphi }_2⟩$ $=({\mu }_1{\varphi }_1+{\mu }_2{\varphi }_2)(v)$

$={\mu }_1{\varphi }_1(v)+{\mu }_2{\varphi }_2(v)$

$={\mu }_1⟨v,{\varphi }_1⟩+{\mu }_2⟨v,{\varphi }_2⟩,$

per ogni ${\mu }_1,{\mu }_2\in K$, per ogni ${\varphi }_1,{\varphi }_2\in V^{\ast }$ e per ogni $v\in V$, pertanto la funzione è lineare anche rispetto al suo secondo argomento. Tale funzione è dunque una funzione bilineare definita su $V\times V^{\ast }$ a valori nel campo $K$. Essa soddisfa inoltre le due proprietà seguenti:

1. $⟨v,\varphi ⟩=0,\forall v\in V\Rightarrow \varphi =0$,

2. $⟨v,\varphi ⟩=0,\forall \varphi \in V^{\ast }\Rightarrow v=0$.

La prima proprietà è del tutto ovvia: dire che $\varphi (v)=0$ per ogni $v\in V$ equivale a dire che $\varphi :V\to K$ è la funzione lineare nulla, cioè $\varphi =0$ in $V^{\ast }$. Verifichiamo allora la proprietà (2). Sia $v\in V$ tale che $\varphi (v)=0$, per ogni $\varphi \in V^{\ast }$. Supponiamo, per assurdo, che sia $v\ne 0$. In tal caso esiste una base ${\{v_i\}}_{i\in I}$ di $V$ che contiene il vettore $v$. Ricordando che una funzione lineare tra due spazi vettoriali è univocamente determinata dai valori che essa assume su una base del suo dominio, definiamo una funzione lineare $\psi :V\to K$ ponendo $\psi (v)=1$ e $\psi (v_i)=0$, per ogni $v_i\ne v$. In questo modo abbiamo costruito un elemento $\psi$ dello spazio vettoriale $V^{\ast }$ per il quale si ha $\psi (v)=1$, ma ciò contraddice l’ipotesi iniziale secondo la quale era $\varphi (v)=0$, per ogni $\varphi \in V^{\ast }$. Si conclude pertanto che deve necessariamente essere $v=0$, come volevasi dimostrare.

1.1 Sottospazi ortogonali

Definizione. Dato uno spazio vettoriale $V$ sul campo $K$, la funzione

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V^{\ast }\to K,(v,\varphi )\mapsto ⟨v,\varphi ⟩=\varphi (v)$$

è detta la dualità canonica tra $V$ e il suo duale $V^{\ast }$.

Possiamo ora dare la seguente definizione:

Definizione. Dato uno spazio vettoriale $V$, due elementi $v\in V$ e $\varphi \in V^{\ast }$ si dicono ortogonali (o coniugati) se $⟨v,\varphi ⟩=0$. Dato un sottoinsieme $S\subseteq V$, definiamo il suo ortogonale $S^{⟂}\subseteq V^{\ast }$ ponendo

$$S^{⟂}=\{\varphi \in V^{\ast }:⟨v,\varphi ⟩=0,\forall v\in S\}.$$

Analogamente, dato un sottoinsieme $T\subseteq V^{\ast }$, il suo ortogonale (rispetto alla dualità canonica tra $V$ e $V^{\ast }$) è il sottoinsieme $T^{⟂}\subseteq V$ definito da

$$T^{⟂}=\{v\in V:⟨v,\varphi ⟩=0,\forall \varphi \in T\}.$$

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale e $V^{\ast }$ il suo duale. Dati due sottoinsiemi $S$ e $S^{\prime }$ di $V$, si ha:

1. $S^{⟂}$ è un sottospazio vettoriale di $V^{\ast }$;

2. $S\subseteq S^{\prime }\Rightarrow S^{\prime }{}_{}{}^{⟂}\subseteq S^{⟂}$;

3. $S^{⟂}={⟨S⟩}^{⟂}$, ove $⟨S⟩$ è il sottospazio vettoriale di $V$ generato da $S$;

4. $⟨S⟩\subseteq {(S^{⟂})}^{⟂}$.

Analogamente, dati due sottoinsiemi $T$ e $T^{\prime }$ di $V^{\ast }$, si ha:

1. $T^{⟂}$ è un sottospazio vettoriale di $V$;

2. $T\subseteq T^{\prime }\Rightarrow T^{\prime }{}_{}{}^{⟂}\subseteq T^{⟂}$;

3. $T^{⟂}={⟨T⟩}^{⟂}$, ove $⟨T⟩$ è il sottospazio vettoriale di $V^{\ast }$ generato da $T$;

4. $⟨T⟩\subseteq {(T^{⟂})}^{⟂}$.

Dimostrazione. (1) Per ogni ${\varphi }_1,{\varphi }_2\in S^{⟂}$ e ogni ${\mu }_1,{\mu }_2\in K$, si ha

$$⟨v,{\mu }_1{\varphi }_1+{\mu }_2{\varphi }_2⟩={\mu }_1⟨v,{\varphi }_1⟩+{\mu }_2⟨v,{\varphi }_2⟩=0,$$

per ogni $v\in S$. Quindi ${\mu }_1{\varphi }_1+{\mu }_2{\varphi }_2\in S^{⟂}$ e, pertanto, $S^{⟂}$ è un sottospazio vettoriale di $V^{\ast }$.

(2) Sia $\varphi \in S^{\prime }{}^{⟂}$. Per ogni $v\in S$ si ha anche $v\in S^{\prime }$ e dunque $⟨v,\varphi ⟩=0$. Quindi $\varphi \in S^{⟂}$.

(3) Dato che $S\subseteq ⟨S⟩$, dal punto (2) segue che ${⟨S⟩}^{⟂}\subseteq S^{⟂}$. Per dimostrare l’inclusione opposta consideriamo un elemento $\varphi \in S^{⟂}$. Ricordiamo che ogni vettore $v\in ⟨S⟩$ può essere espresso come combinazione lineare finita di elementi di $S$,

$$v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i,$$

con $v_i\in S$ e ${\lambda }_i\in K$, per $i=1,\mathrm{\dots },n$. Si ha dunque:

$$⟨v,\varphi ⟩=⟨\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i,\varphi ⟩=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i⟨v_i,\varphi ⟩=0,$$

quindi $\varphi \in {⟨S⟩}^{⟂}$.

(4) Dalla definizione dell’ortogonale di un sottoinsieme di $V^{\ast }$ segue che

$${(S^{⟂})}^{⟂}=\{v\in V:⟨v,\varphi ⟩=0,\forall \varphi \in S^{⟂}\}.$$

Ragionando come nella dimostrazione del punto (3), si conclude che $⟨v,\varphi ⟩=0$, per ogni $v\in ⟨S⟩$ e ogni $\varphi \in S^{⟂}$. Questo significa che $v\in {(S^{⟂})}^{⟂}$, per ogni $v\in ⟨S⟩$.

La dimostrazione delle rimanenti proprietà è del tutto analoga.

Esempio. Consideriamo il caso dello spazio vettoriale $V=K^n$. Le funzioni lineari

$$\varphi :V\to K$$

hanno la seguente espressione

$$\varphi (x_1,x_2,\mathrm{\dots },x_n)=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+a_n{x}_n,$$

con $a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n\in K$. In termini matriciali esse corrispondono alla moltiplicazione di un vettore riga (una matrice $1\times n$) $A=(a_1,a_2,\mathrm{\dots },a_n)\in K^n$ per un vettore colonna $v\in K^n$. Associando ad ogni tale funzione lineare la matrice $A$ corrispondente, si ottiene un isomorfismo canonico tra lo spazio vettoriale duale $V^{\ast }$ e $K^n$; in altri termini, lo spazio vettoriale duale di $K^n$ si identifica canonicamente con $K^n$ stesso. Con questa identificazione, la dualità canonica assume la seguente forma:

$$⟨\cdot ,\cdot ⟩:K^n\times K^n\to K,⟨(x_1,\mathrm{\dots },x_n),(a_1,\mathrm{\dots },a_n)⟩=\sum _{i=1}^n{a}_i{x}_i.$$

Osserviamo che questa non è altro che l’espressione del classico prodotto scalare di due vettori di $K^n$.

1.2 La base duale

Sia $V$ uno spazio vettoriale e consideriamo una base $𝐯={\{v_i\}}_{i\in I}$ di $V$. Per ogni $i\in I$ definiamo una forma lineare $v_i^{\ast }\in V^{\ast }$ ponendo

ed estendendo la funzione $v_i^{\ast }$ a tutti i vettori di $V$, per linearità.

Teorema. Se ${\{v_i\}}_{i\in I}$ è una base di $V$, i vettori ${\{v_i^{\ast }\}}_{i\in I}$ di $V^{\ast }$ sono linearmente indipendenti.

Dimostrazione. Consideriamo una combinazione lineare finita di vettori $v_i^{\ast }$, del tipo

$${\lambda }_1{v}_{i_1}^{\ast }+{\lambda }_2{v}_{i_2}^{\ast }+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_{i_n}^{\ast }=0.$$

Per ogni $h=1,\mathrm{\dots },n$, si ha:

$$⟨v_{i_h},\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{v}_{i_j}^{\ast }⟩=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j⟨v_{i_h},v_{i_j}^{\ast }⟩=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{\delta }_{i_h,i_j}={\lambda }_h=0.$$

I coefficienti ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$ sono dunque tutti nulli, quindi i vettori considerati sono linearmente indipendenti.

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale finitamente generato.

Per ogni base $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ di $V$, i vettori $\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$ sono una base di $V^{\ast }$.

Dimostrazione. Abbiamo già dimostrato che i vettori $\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$ sono linearmente indipendenti. Ora dobbiamo solo dimostrare che, se $V$ ha dimensione finita, essi sono anche un insieme di generatori dello spazio duale $V^{\ast }$.

Consideriamo dunque una forma lineare $\varphi \in V^{\ast }$ e poniamo $a_i=\varphi (v_i)$, per ogni $i=1,\mathrm{\dots },n$. Consideriamo ora la forma lineare $\psi$ definita ponendo

$$\psi =a_1{v}_1^{\ast }+a_2{v}_2^{\ast }+\mathrm{\cdots }+a_n{v}_n^{\ast }.$$

Per ogni vettore $v_j$ della base di $V$, si ha:

$$\psi (v_j)=⟨v_j,\psi ⟩=⟨v_j,\sum _{i=1}^n{a}_i{v}_i^{\ast }⟩=\sum _{i=1}^n{a}_i⟨v_j,v_i^{\ast }⟩=\sum _{i=1}^n{a}_i{\delta }_{i,j}=a_j=\varphi (v_j).$$

Le funzioni lineari $\varphi$ e $\psi$ assumono dunque gli stessi valori su tutti i vettori della base di $V$ e pertanto esse sono uguali. Abbiamo così dimostrato che $\varphi$ può essere scritta come combinazione lineare dei vettori $\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$.

Corollario. Per ogni spazio vettoriale $V$ finitamente generato, si ha $dim{V}^{\ast }=dimV$.

Definizione. Se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generato e se $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ è una sua base, la base $\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$ di $V^{\ast }$ è detta la base duale di $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$.

Osservazione. Abbiamo visto che se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generato e se $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_n\}$ è una sua base, per ogni forma lineare $\varphi \in V^{\ast }$ si ha

$$\varphi =\sum _{i=1}^n⟨v_i,\varphi ⟩v_i^{\ast },$$

ove $\{v_1^{\ast },v_2^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$ è la base duale di $V^{\ast }$.

In modo del tutto analogo, possiamo dimostrare che una formula simile vale anche per gli elementi di $V$. Più precisamente, per ogni $v\in V$, si ha:

$$v=\sum _{i=1}^n⟨v,v_i^{\ast }⟩v_i.$$

Infatti, scrivendo $v$ come combinazione lineare dei vettori di base $v_1,\mathrm{\dots },v_n$,

$$v=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{v}_j,$$

si ha

$$⟨v,v_i^{\ast }⟩=⟨\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{v}_j,v_i^{\ast }⟩=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j⟨v_j,v_i^{\ast }⟩=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{\delta }_{i,j}={\lambda }_i,$$

per ogni $i=1,\mathrm{\dots },n$.

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita. Per ogni sottoinsieme $S\subseteq V$, si ha

$$dim(S^{⟂})=dimV-dim(⟨S⟩).$$

Analogamente, per ogni sottoinsieme $T\subseteq V^{\ast }$, si ha

$$dim(T^{⟂})=dimV-dim(⟨T⟩).$$

Dimostrazione. Poniamo $n=dimV$ e $s=dim(⟨S⟩)$. Sia $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_s\}$ una base di $⟨S⟩$ e completiamola a una base $\{v_1,\mathrm{\dots },v_s,v_{s+1},\mathrm{\dots },v_n\}$ di $V$.

Sia $\{v_1^{\ast },\mathrm{\dots },v_s^{\ast },v_{s+1}^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$ la base duale di $V^{\ast }$. Per dimostrare la prima affermazione basta dimostrare che $\{v_{s+1}^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }\}$ è una base di $S^{⟂}$. Sia dunque $\varphi ={\lambda }_1{v}_1^{\ast }+{\lambda }_2{v}_2^{\ast }+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n^{\ast }\in V^{\ast }$. Dato che $\{v_1,v_2,\mathrm{\dots },v_s\}$ è una base di $⟨S⟩$, affermare che $\varphi \in S^{⟂}$ equivale a dire che $⟨v_i,\varphi ⟩=0$, per ogni $i=1,\mathrm{\dots },s$. Ma, per ogni $i=1,\mathrm{\dots },s$, si ha

$$⟨v_i,\varphi ⟩=⟨v_i,\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{v}_j^{\ast }⟩=\sum _{j=1}^n{\lambda }_j{\delta }_{i,j}={\lambda }_i=0.$$

Si conclude quindi che gli elementi di $S^{⟂}$ sono del tipo

$$\varphi ={\lambda }_{s+1}{v}_{s+1}^{\ast }+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n^{\ast },$$

pertanto $S^{⟂}=⟨v_{s+1}^{\ast },\mathrm{\dots },v_n^{\ast }⟩$. La dimostrazione della seconda affermazione è analoga.

Osservazione. Se $V$ è uno spazio vettoriale non finitamente generato e se ${\{v_i\}}_{i\in I}$ è una base (infinita) di $V$, i vettori ${\{v_i^{\ast }\}}_{i\in I}$ non sono una base di $V^{\ast }$. Infatti, poiché $v_i^{\ast }(v_j)=0$ per ogni $j\ne i$, ogni combinazione lineare finita delle forme lineari $v_i^{\ast }$ assumerà valore diverso da zero solo su un numero finito di vettori della base ${\{v_i\}}_{i\in I}$ di $V$. Ciò significa che i vettori ${\{v_i^{\ast }\}}_{i\in I}$ generano il sottospazio $V_0^{\ast }$ di $V^{\ast }$ costituito dalle forme lineari $\varphi :V\to K$ che, valutate sui vettori della base ${\{v_i\}}_{i\in I}$ di $V$, sono quasi ovunque nulle, cioè assumono valori diversi da zero solo su un numero finito di vettori $v_i$:

$$V_0^{\ast }=\{\varphi \in V^{\ast }:\varphi (v_i)\ne 0\text{ solo per un insieme finito di indici }i\in I\}.$$

Ad esempio, la forma lineare $\sigma \in V^{\ast }$ definita ponendo $\sigma (v_i)=1$, per ogni $i\in I$, non appartiene al sottospazio $V_0^{\ast }$ e pertanto non può essere espressa come combinazione lineare finita delle forme lineari $v_i^{\ast }$.