Lezione 13

1 Funzioni lineari e matrici

Riportiamo qui alcune considerazioni sulle funzioni lineari e sulle matrici ad esse associate.

1.1 Immagine inversa (o antiimmagine).

Data una funzione lineare $f:V\to W$ tra due spazi vettoriali $V$ e $W$, di dimensioni rispettivamente $n$ e $m$ sul campo $K$, possiamo considerare il seguente problema: dato un vettore $w\in W$, determinare la sua antiimmagine $f^{-1}(w)\subseteq V$, cioè determinare tutti i vettori $v\in V$ tali che $f(v)=w$.

Se scegliamo delle basi $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ di $V$ e $𝐰=\{w_1,\mathrm{\dots },w_m\}$ di $W$, all’omomorfismo $f$ risulta associata una matrice $A=(a_{i,j})$, con $m$ righe e $n$ colonne, a elementi in $K$, con la proprietà che, per ogni vettore

$$v={\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n\in V,$$

se esprimiamo $w=f(v)$ come combinazione lineare dei vettori della base $𝐰$

$$w=f(v)={\mu }_1{w}_1+\mathrm{\cdots }+{\mu }_m{w}_m,$$

allora si ha

Pertanto, se indichiamo con $(b_1,\mathrm{\dots },b_m)\in K^m$ il vettore delle coordinate di $w$ rispetto alla base $𝐰$ di $W$ e se indichiamo con $(x_1,\mathrm{\dots },x_n)\in K^n$ le coordinate di un generico vettore $v\in V$ (rispetto alla base $𝐯$ di $V$), il problema di determinare i vettori $v$ tali che $f(v)=w$ si traduce nel problema di determinare le soluzioni del seguente sistema di equazioni lineari:

1.2 Rango

Sia $f:V\to W$ una funzione lineare tra due spazi vettoriali. Ricordiamo che l’immagine di $f$ è generata dalle immagini tramite $f$ dei vettori di una base di $V$. Le coordinate di questi vettori, rispetto alla base di $W$, compaiono nelle colonne della matrice di $f$. Possiamo quindi concludere che la dimensione dell’immagine di $f$ è uguale al numero di colonne linearmente indipendenti della matrice $M_{𝐯}^{𝐰}(f)$, cioè al rango per colonne di $M_{𝐯}^{𝐰}(f)$, che sappiamo essere uguale al rango per righe. Quindi

$$dim\mathrm{Im}f=\mathrm{rango}{M}_{𝐯}^{𝐰}(f).$$

1.3 Operazioni tra funzioni e operazioni tra matrici

Siano $f,g:V\to W$ funzioni lineari e indichiamo con $M_{𝐯}^{𝐰}(f)=(a_{ij})$ e $M_{𝐯}^{𝐰}(g)=(b_{ij})$ le matrici ad esse associate. La somma di $f$ e $g$ è la funzione lineare definita da $(f+g)(v)=f(v)+g(v)$, per ogni $v\in V$. In particolare, per ogni vettore $v_j$ della base di $V$, si ha

$(f+g)(v_j)$ $=f(v_j)+g(v_j)={\displaystyle \sum _{i=1}^m}{a}_{i,j}{w}_i+{\displaystyle \sum _{i=1}^m}{b}_{i,j}{w}_i$

$={\displaystyle \sum _{i=1}^m}(a_{i,j}+b_{i,j})w_i.$

La matrice $M_{𝐯}^{𝐰}(f+g)$, associata alla funzione $f+g$, ha quindi come elementi le somme $a_{i,j}+b_{i,j}$ degli elementi delle matrici $M_{𝐯}^{𝐰}(f)$ e $M_{𝐯}^{𝐰}(g)$, associate rispettivamente a $f$ e $g$. Pertanto si ha:

$$M_{𝐯}^{𝐰}(f+g)=M_{𝐯}^{𝐰}(f)+M_{𝐯}^{𝐰}(g).$$

Sia ora $\lambda \in K$ e consideriamo la funzione $\lambda f$ definita da $(\lambda f)(v)=\lambda f(v)$, per ogni $v\in V$. Valutando questa funzione sui vettori della base di $V$, si ha

$$(\lambda f)(v_j)=\lambda f(v_j)=\lambda \sum _{i=1}^m{a}_{i,j}{w}_i=\sum _{i=1}^m(\lambda a_{i,j})w_i,$$

da cui si deduce che la matrice $M_{𝐯}^{𝐰}(\lambda f)$, associata alla funzione $\lambda f$, è la matrice i cui elementi sono dati dal prodotto di $\lambda$ per gli elementi della matrice $M_{𝐯}^{𝐰}(f)$:

$$M_{𝐯}^{𝐰}(\lambda f)=\lambda M_{𝐯}^{𝐰}(f).$$

Esiste una biiezione tra l’insieme $\mathrm{Hom}(V,W)$ e l’insieme $M_{m,n}(K)$ delle matrici $m\times n$ a elementi in $K$

$$\mathrm{Hom}(V,W)\to M_{m,n}(K)f\mapsto M_{𝐯}^{𝐰}(f).$$

I due insiemi $\mathrm{Hom}(V,W)$ e $M_{m,n}(K)$ sono spazi vettoriali su $K$. Le uguaglianze

$$M_{𝐯}^{𝐰}(f+g)=M_{𝐯}^{𝐰}(f)+M_{𝐯}^{𝐰}(g),M_{𝐯}^{𝐰}(\lambda f)=\lambda M_{𝐯}^{𝐰}(f)$$

ci dicono che la funzione biiettiva $f\mapsto M_{𝐯}^{𝐰}(f)$ è lineare, quindi è un isomorfismo tra gli spazi vettoriali $\mathrm{Hom}(V,W)$ e $M_{m,n}(K)$.

Per analogia con la definizione della base canonica di $K^n$, definiamo delle matrici $E_{i,j}$, con $i=1,\mathrm{\dots },m$ e $j=1,\mathrm{\dots },n$, i cui elementi sono tutti nulli eccetto quello di posto $(i,j)$ (cioè quello che si trova sulla $i$-esima riga e sulla $j$-esima colonna), che è uguale a $1$. È immediato verificare che le $mn$ matrici $E_{i,j}$ appena definite formano una base dello spazio vettoriale $M_{m,n}(K)$. Ciò è conseguenza del fatto che ogni matrice $A=(a_{ij})$ si scrive, in modo unico, come segue:

$$A=\sum _{i,j}{a}_{i,j}{E}_{i,j}.$$

Vediamo ora quale operazione tra matrici corrisponde alla composizione di due funzioni lineari. A tal fine consideriamo tre spazi vettoriali $U$, $V$ e $W$, di dimensioni rispettivamente $r$, $n$ e $m$, e fissiamo delle loro basi $𝐮=\{u_1,\mathrm{\dots },u_r\}$, $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ e $𝐰=\{w_1,\mathrm{\dots },w_m\}$. Siano $f:V\to W$ e $g:U\to V$ due funzioni lineari e indichiamo con $A=M_{𝐯}^{𝐰}(f)$ la matrice di $f$, con $B=M_{𝐮}^{𝐯}(g)$ la matrice di $g$ e con $C=M_{𝐮}^{𝐰}(f\circ g)$ la matrice di $f\circ g:U\to W$, rispetto alle basi indicate. Ricordiamo che $A$ è una matrice $m\times n$, $B$ è una matrice $n\times r$, mentre $C$ è una matrice $m\times r$.

Per ogni vettore $u_j$ della base di $U$ si ha:

$(f\circ g)(u_j)$ $=f(g(u_j))=f\left({\displaystyle \sum _{h=1}^n}{b}_{h,j}{v}_h\right)={\displaystyle \sum _{h=1}^n}{b}_{h,j}f(v_h)$

$={\displaystyle \sum _{h=1}^n}{b}_{h,j}\left({\displaystyle \sum _{i=1}^m}{a}_{i,h}{w}_i\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^m}\left({\displaystyle \sum _{h=1}^n}{a}_{i,h}{b}_{h,j}\right)w_i.$

Poiché $C=(c_{i,j})$ è la matrice di $f\circ g$, si ha anche

$$(f\circ g)(u_j)=\sum _{i=1}^m{c}_{i,j}{w}_i.$$

Dall’uguaglianza di queste due espressioni segue che

$$c_{i,j}=\sum _{h=1}^n{a}_{i,h}{b}_{h,j},$$

per ogni $i=1,\mathrm{\dots },m$ e $j=1,\mathrm{\dots },r$.

Osserviamo che questa formula non è altro che la definizione del prodotto (righe per colonne) di matrici. Si ha pertanto

$$M_{𝐮}^{𝐰}(f\circ g)=M_{𝐯}^{𝐰}(f)\cdot M_{𝐮}^{𝐯}(g).$$

1.4 Cambiamenti di base

Abbiamo più volte fatto notare che la matrice associata a una funzione lineare $f:V\to W$ dipende dalla scelta di una base dello spazio vettoriale $V$ e di una base di $W$: cambiando scelta delle basi cambia anche la matrice associata a $f$. Ci proponiamo ora di studiare in che modo cambia la matrice di $f$ se cambiamo la nostra scelta delle basi di $V$ e $W$.

Consideriamo due spazi vettoriali $V$ e $W$ sul campo $K$, di dimensioni rispettivamente $n$ e $m$ e sia $f:V\to W$ una funzione lineare. Siano $𝐯=\{v_1,\mathrm{\dots },v_n\}$ e ${𝐯}^{\prime }=\{v_1^{\prime },\mathrm{\dots },v_n^{\prime }\}$ due basi di $V$ e siano $𝐰=\{w_1,\mathrm{\dots },w_m\}$ e ${𝐰}^{\prime }=\{w_1^{\prime },\mathrm{\dots },w_m^{\prime }\}$ due basi di $W$. Infine, indichiamo con $M_{𝐯}^{𝐰}(f)$ la matrice di $f$ rispetto alle basi $𝐯$ e $𝐰$ e con $M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f)$ la matrice di $f$ rispetto alle basi ${𝐯}^{\prime }$ e ${𝐰}^{\prime }$.

Dato $v\in V$ scriviamo

$$v={\lambda }_1{v}_1+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n{v}_n={\lambda }_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+\mathrm{\cdots }+{\lambda }_n^{\prime }{v}_n^{\prime },$$

ove ${({\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n)}^{𝐯}$ sono le coordinate del vettore $v$ nella base $𝐯$ e ${({\lambda }_1^{\prime },\mathrm{\dots },{\lambda }_n^{\prime })}^{{𝐯}^{\prime }}$ sono le coordinate di $v$ nella base ${𝐯}^{\prime }$.

Analogamente scriviamo

$$w=f(v)={\mu }_1{w}_1+\mathrm{\cdots }+{\mu }_m{w}_m={\mu }_1^{\prime }{w}_1^{\prime }+\mathrm{\cdots }+{\mu }_m^{\prime }{w}_m^{\prime },$$

ove ${({\mu }_1,\mathrm{\dots },{\mu }_m)}^{𝐰}$ sono le coordinate del vettore $w$ nella base $𝐰$ e ${({\mu }_1^{\prime },\mathrm{\dots },{\mu }_m^{\prime })}^{{𝐰}^{\prime }}$ sono le coordinate di $w$ nella base ${𝐰}^{\prime }$.

Sia $M_{𝐯}^{{𝐯}^{\prime }}(\mathrm{id})$ la matrice della funzione identica $\mathrm{id}:V\to V$ nelle basi $𝐯$ del dominio e ${𝐯}^{\prime }$ del codominio. Questa matrice è tale che

$${\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐯}^{\prime }}=M_{𝐯}^{{𝐯}^{\prime }}(\mathrm{id}){\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n\end{array}\right)}^{𝐯}$$

Sia $M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id})$ la matrice della funzione identica $\mathrm{id}:W\to W$ nelle basi $𝐰$ del dominio e ${𝐰}^{\prime }$ del codominio. Questa matrice è tale che

$${\left(\begin{array}{c}{\mu }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐰}^{\prime }}=M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id}){\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m\end{array}\right)}^{𝐰}$$

Sia $M_{𝐯}^{𝐰}(f)$ la matrice di $f$ rispetto alle basi $𝐯$ e $𝐰$. Questa matrice è tale che

$${\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m\end{array}\right)}^{𝐰}=M_{𝐯}^{𝐰}(f){\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n\end{array}\right)}^{𝐯}$$

Sia $M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f)$ la matrice di $f$ rispetto alle basi ${𝐯}^{\prime }$ e ${𝐰}^{\prime }$. Questa matrice è tale che

$${\left(\begin{array}{c}{\mu }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐰}^{\prime }}=M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f){\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐯}^{\prime }}$$

Combinando tutte queste formule si ha:

$${\left(\begin{array}{c}{\mu }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐰}^{\prime }}=M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f){\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐯}^{\prime }}=M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f)M_{𝐯}^{{𝐯}^{\prime }}(\mathrm{id}){\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n\end{array}\right)}^{𝐯}$$

e anche

$${\left(\begin{array}{c}{\mu }_1^{\prime }\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m^{\prime }\end{array}\right)}^{{𝐰}^{\prime }}=M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id}){\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\mu }_m\end{array}\right)}^{𝐰}=M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id})M_{𝐯}^{𝐰}(f){\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ \mathrm{⋮}\\ {\lambda }_n\end{array}\right)}^{𝐯}$$

Dal confronto di queste due espressioni si deduce che

$$M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f)M_{𝐯}^{{𝐯}^{\prime }}(\mathrm{id})=M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id})M_{𝐯}^{𝐰}(f)$$

e quindi

$$M_{{𝐯}^{\prime }}^{{𝐰}^{\prime }}(f)=M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id})M_{𝐯}^{𝐰}(f){(M_{𝐯}^{{𝐯}^{\prime }}(\mathrm{id}))}^{-1}=M_{𝐰}^{{𝐰}^{\prime }}(\mathrm{id})M_{𝐯}^{𝐰}(f)M_{{𝐯}^{\prime }}^{𝐯}(\mathrm{id})$$

Questa è la formula di cambiamento di basi per le matrici delle funzioni lineari.

Quanto appena visto motiva la seguente definizione:

Definizione. Due matrici quadrate $A$ e $B$ di ordine $n$ a elementi in $K$ si dicono simili se esiste una matrice invertibile $S\in M_n(K)$ tale che

$$A=SB{S}^{-1}$$

o, equivalentemente,

$$B=S^{-1}AS.$$

Da quanto sopra detto si deduce il seguente risultato:

Corollario. Due matrici $A,B\in M_n(K)$ rappresentano lo stesso endomorfismo $f$ di uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $K$, rispetto a basi diverse, se e solo se sono simili.

Osservazione. Si noti che la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza nell’insieme $M_n(K)$ delle matrici quadrate di ordine $n$ a elementi in $K$.

Più in generale, per matrici non necessariamente quadrate, possiamo dare la seguente definizione:

Definizione. Due matrici $m\times n$, $A$ e $B$, a elementi in $K$ si dicono equivalenti se rappresentano la stessa funzione lineare $f:K^n\to K^m$ rispetto a basi diverse, cioè se esistono matrici invertibili $P\in M_n(K)$ e $Q\in M_m(K)$ tali che $B=Q^{-1}AP$ (o, equivalentemente, scambiando i ruoli di $Q$ e $Q^{-1}$, tali che $B=QAP$).

Si può dimostrare che ogni matrice $A\in M_{m,n}(K)$, di rango $r$, è equivalente a una matrice del tipo

ove $I_r$ indica la matrice identica di ordine $r$ e $0$ sono dei blocchi costituiti interamente da zeri. Di conseguenza, due matrici $A,B\in M_{m,n}(K)$ sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.