1 Esempi di funzioni lineari

Lezione 12

1 Esempi di funzioni lineari

1.1 Proiezioni

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ e siano $U$ e $W$ due sottospazi vettoriali di $V$ tali che $V=U\oplus W$ (diremo che $U$ e $W$ sono complementari). Una conseguenza di ciò è che ogni vettore $v\in V$ si può scrivere in modo unico nella forma $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in W$ .

Definizione. Sia $\pi_{U}^{W}\colon V\to V$ la funzione definita ponendo $\pi_{U}^{W}(v)=u$ . Questa funzione è detta la proiezione su $U$ nella direzione di $W$ .

La proiezione $\pi_{U}^{W}$ gode delle seguenti proprietà, la cui dimostrazione è un facile esercizio:

1.

$\pi_{U}^{W}$ è lineare;
2.

${\rm Im}\pi_{U}^{W}=U$ ;
3.

${\rm Ker}\pi_{U}^{W}=W$ ;
4.

$\pi_{U}^{W}(u)=u$ , per ogni $u\in U$ , cioè la restrizione di $\pi_{U}^{W}$ al sottospazio $U$ è la funzione identica;
5.

$\pi_{U}^{W}\circ\pi_{U}^{W}=\pi_{U}^{W}$ .

Dimostreremo ora che la proprietà $\pi_{U}^{W}\circ\pi_{U}^{W}=\pi_{U}^{W}$ è sufficiente, da sola, a caratterizzare le proiezioni.

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ e sia $f\colon V\to V$ una funzione lineare tale che $f\circ f=f$ . Allora $f$ è la proiezione su $U$ nella direzione di $W$ , dove $U={\rm Im}f$ e $W={\rm Ker}f$ .

Dimostrazione. Come prima cosa dobbiamo dimostrare che $V=U\oplus W$ .

Sia $v\in U\cap W={\rm Im}f\cap{\rm Ker}f$ . Dato che $v\in{\rm Im}f$ si ha $v=f(v^{\prime})$ , per qualche $v^{\prime}\in V$ . Siccome $v$ appartiene anche a ${\rm Ker}f$ , si ha $f(v)=0$ , quindi

0=f(v)=f\big{(}f(v^{\prime})\big{)}=(f\circ f)(v^{\prime})=f(v^{\prime})=v,

perché $f\circ f=f$ . Si conclude quindi che, per ogni $v\in U\cap W$ , si ha $v=0$ e pertanto $U\cap W=\{\,0\,\}$ . Questo significa che $U$ e $W$ sono in somma diretta. Ora dobbiamo dimostrare che $U\oplus W=V$ , cioè che ogni vettore $v\in V$ si può scrivere nella forma $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in W$ .

Sia dunque $v\in V$ . Possiamo certamente scrivere

v=f(v)+\big{(}v-f(v)\big{)}.

Osserviamo ora che $f(v)\in{\rm Im}f=U$ , quindi poniamo $u=f(v)$ . Rimane solo da dimostrare che $v-f(v)\in W={\rm Ker}f$ . Si ha:

f\big{(}v-f(v)\big{)}=f(v)-f\big{(}f(v)\big{)}=f(v)-f(v)=0,

perché $f\circ f=f$ , il che conferma che $v-f(v)\in W$ . Possiamo quindi porre $w=v-f(v)$ e così abbiamo dimostrato che $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in W$ , e che, pertanto, $V$ è la somma diretta di $U$ e $W$ .

A questo punto bisogna dimostrare che $f(v)=u$ . Si ha:

f(v)=f(u+w)=f(u)+f(w)=f(u)+0=f(u),

perché $w\in W={\rm Ker}f$ .

Rimane infine solo da dimostrare che, per ogni $u\in U$ , si ha $f(u)=u$ . Dato che $u\in U={\rm Im}f$ si ha $u=f(\tilde{v})$ , per qualche $\tilde{v}\in V$ e, di conseguenza,

f(u)=f\big{(}f(\tilde{v})\big{)}=(f\circ f)(\tilde{v})=f(\tilde{v})=u,

perché $f\circ f=f$ .

Abbiamo così concluso che, per ogni vettore $v\in V$ , con $v=u+w$ , si ha $f(v)=u$ . Ma ciò significa che $f$ è la proiezione $\pi_{U}^{W}$ .

1.2 Simmetrie

Consideriamo uno spazio vettoriale $V$ e siano $U$ e $W$ due sottospazi vettoriali tali che $V=U\oplus W$ .

Definizione. Sia $\sigma_{U}^{W}\colon V\to V$ la funzione definita ponendo $\sigma_{U}^{W}(v)=u-w$ . Questa funzione è detta la simmetria di asse $U$ e direzione $W$ .

Osservazione. Nel caso della simmetria conviene supporre che il campo $K$ abbia caratteristica diversa da $2$ , cioè che in $K$ sia $1+1\neq 0$ , altrimenti si avrebbe $-1=1$ e quindi $-w=w$ . In questo caso la simmetria $\sigma_{U}^{W}$ sarebbe la funzione identica, infatti si avrebbe $\sigma_{U}^{W}(v)=u-w=u+w=v$ , per ogni $v\in V$ .

Si può dimostrare facilmente che la simmetria $\sigma_{U}^{W}$ gode delle seguenti proprietà:

1.

$\sigma_{U}^{W}$ è lineare;
2.

${\rm Im}\sigma_{U}^{W}=V$ ;
3.

${\rm Ker}\sigma_{U}^{W}=\{\,0\,\}$ ;
4.

$\sigma_{U}^{W}(u)=u$ , per ogni $u\in U$ , cioè la restrizione di $\sigma_{U}^{W}$ al sottospazio $U$ è la funzione identica;
5.

$\sigma_{U}^{W}\circ\sigma_{U}^{W}={\rm id}$ , ove ${\rm id}$ è la funzione identica;
6.

$U={\rm Im}({\rm id}+\sigma_{U}^{W})$ ;
7.

$W={\rm Ker}({\rm id}+\sigma_{U}^{W})$ .

Per quanto riguarda le simmetrie, dimostreremo che esse sono caratterizzate dalla sola proprietà $\sigma_{U}^{W}\circ\sigma_{U}^{W}={\rm id}$ .

Teorema. Sia $K$ un campo dove $1+1\neq 0$ , sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e sia $f\colon V\to V$ una funzione lineare tale che $f\circ f={\rm id}$ . Allora $f$ è la simmetria di asse $U$ e direzione $W$ , dove $U={\rm Im}({\rm id}+f)$ e $W={\rm Ker}({\rm id}+f)$ .

Dimostrazione. Come prima cosa dobbiamo dimostrare che $V=U\oplus W$ .

Sia $v\in U\cap W={\rm Im}({\rm id}+f)\cap{\rm Ker}({\rm id}+f)$ . Dato che $v\in{\rm Im}({\rm id}+f)$ si ha $v=({\rm id}+f)(v^{\prime})=v^{\prime}+f(v^{\prime})$ , per qualche $v^{\prime}\in V$ . Siccome $v$ appartiene anche a ${\rm Ker}({\rm id}+f)$ , si ha $({\rm id}+f)(v)=0$ , quindi

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=({\rm id}+f)(v)=v+f(v)=(v^{\prime}+f(v^{\prime}))+f\big{(}v^{% \prime}+f(v^{\prime})\big{)}$
		$\displaystyle=v^{\prime}+f(v^{\prime})+f(v^{\prime})+f\big{(}f(v^{\prime})\big% {)}=2\big{(}v^{\prime}+f(v^{\prime})\big{)}=2v,$

perché $f\circ f={\rm id}$ . Siccome nel campo $K$ è $1+1\neq 0$ , da $2v=0$ segue che $v=0$ .

Si conclude quindi che, per ogni $v\in U\cap W$ , si ha $v=0$ e pertanto $U\cap W=\{\,0\,\}$ . Questo significa che $U$ e $W$ sono in somma diretta. Ora dobbiamo dimostrare che $U\oplus W=V$ , cioè che ogni vettore $v\in V$ si può scrivere nella forma $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in W$ .

Sia dunque $v\in V$ . Possiamo certamente scrivere

v=\tfrac{1}{2}\big{(}v+f(v)\big{)}+\tfrac{1}{2}\big{(}v-f(v)\big{)}.

Osserviamo ora che $\tfrac{1}{2}\big{(}v+f(v)\big{)}=({\rm id}+f)(\frac{1}{2}\,v)\in{\rm Im}({\rm id% }+f)=U$ , quindi poniamo $u=\tfrac{1}{2}\big{(}v+f(v)\big{)}$ . Rimane solo da dimostrare che $\tfrac{1}{2}\big{(}v-f(v)\big{)}\in W={\rm Ker}({\rm id}+f)$ . Si ha:

	$\displaystyle({\rm id}+f)\big{(}\tfrac{1}{2}(v-f(v))\big{)}$	$\displaystyle=\tfrac{1}{2}\big{(}v-f(v)+f(v)-f(f(v))\big{)}$
		$\displaystyle=\tfrac{1}{2}\big{(}v-f(v)+f(v)-v\big{)}=0,$

perché $f\circ f={\rm id}$ , il che conferma che $\tfrac{1}{2}\big{(}v-f(v)\big{)}\in W$ . Possiamo quindi porre $w=\tfrac{1}{2}\big{(}v-f(v)\big{)}$ e così abbiamo dimostrato che $v=u+w$ , con $u\in U$ e $w\in W$ , e che, pertanto, $V$ è la somma diretta di $U$ e $W$ .

Sia ora $v\in V$ e scriviamolo nella forma $v=u+w$ , con $u\in U={\rm Im}({\rm id}+f)$ e $w\in W={\rm Ker}({\rm id}+f)$ . Bisogna dimostrare che $f(v)=u-w$ .

Dato che $u\in{\rm Im}({\rm id}+f)$ si ha $u=({\rm id}+f)(\tilde{v})=\tilde{v}+f(\tilde{v})$ , per qualche $\tilde{v}\in V$ e, di conseguenza,

f(u)=f\big{(}\tilde{v}+f(\tilde{v})\big{)}=f(\tilde{v})+(f\circ f)(\tilde{v})=% f(\tilde{v})+\tilde{v}=u,

perché $f\circ f={\rm id}$ . Pertanto si ha:

f(v)=f(u+w)=f(u)+f(w)=u+f(w).

Rimane quindi solo da dimostrare che, per ogni $w\in W$ , si ha $f(w)=-w$ .

Dato che $w\in W={\rm Ker}({\rm id}+f)$ si ha $({\rm id}+f)(w)=0$ , cioè $w+f(w)=0$ e, di conseguenza, $f(w)=-w$ .

Abbiamo così concluso che, per ogni vettore $v\in V$ , con $v=u+w$ , si ha $f(v)=u-w$ . Ma ciò significa che $f$ è la simmetria $\sigma_{U}^{W}$ .

2 Matrice associata a una funzione lineare

Ci proponiamo ora di studiare le proprietà di una funzione lineare $f\colon V\to W$ , in relazione alla scelta di basi per gli spazi vettoriali $V$ e $W$ .

Iniziamo col dimostrare che una funzione lineare $f\colon V\to W$ è completamente determinata dalla conoscenza delle immagini dei vettori di una base di $V$ , le quali possono essere scelte arbitrariamente in $W$ .

Teorema. Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $K$ e sia $\{v_{i}\}_{i\in I}$ una base di $V$ .

1.

Un omomorfismo $f\colon V\to W$ è determinato, in modo unico, dalle immagini dei vettori $v_{i}$ , per ogni $i\in I$ .
2.

Scelti arbitrariamente dei vettori $\{w_{i}\}_{i\in I}$ in $W$ , esiste un unico omomorfismo $f\colon V\to W$ tale che $f(v_{i})=w_{i}$ , per ogni $i\in I$ .

Dimostrazione. (1) Sia $f\colon V\to W$ una funzione lineare e supponiamo di conoscere $f(v_{i})$ , per ogni $i\in I$ . Poiché $\{v_{i}\}_{i\in I}$ è una base di $V$ , ogni vettore $v\in V$ si può scrivere, in modo unico, come combinazione lineare finita dei vettori $v_{i}$ :

v=\lambda_{1}v_{i_{1}}+\lambda_{2}v_{i_{2}}+\cdots+\lambda_{n}v_{i_{n}}.

Dalla linearità di $f$ segue che

f(v)=\lambda_{1}f(v_{i_{1}})+\lambda_{2}f(v_{i_{2}})+\cdots+\lambda_{n}f(v_{i_% {n}}),

il che dimostra che la conoscenza di $f(v_{i})$ , per ogni $i\in I$ , determina, in modo unico, $f(v)$ , per ogni $v\in V$ . In altre parole, se $g\colon V\to W$ è un omomorfismo tale che $g(v_{i})=f(v_{i})$ , per ogni $i\in I$ , allora $g(v)=f(v)$ , per ogni $v\in V$ .

(2) Per ogni $i\in I$ scegliamo arbitrariamente un vettore $w_{i}\in W$ . Definiamo una funzione $f\colon V\to W$ ponendo $f(v_{i})=w_{i}$ , per ogni $i\in I$ , ed estendendo $f$ per linearità a tutto $V$ , cioè ponendo

f(v)=\lambda_{1}f(v_{i_{1}})+\lambda_{2}f(v_{i_{2}})+\cdots+\lambda_{n}f(v_{i_% {n}}),

se $v=\lambda_{1}v_{i_{1}}+\lambda_{2}v_{i_{2}}+\cdots+\lambda_{n}v_{i_{n}}$ .

Si verifica immediatamente che $f$ è ben definita ed è lineare. L’unicità di una tale $f$ discende dal punto (1).

2.1 Matrice di una funzione lineare.

Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali sul campo $K$ , di dimensioni $n$ e $m$ , rispettivamente, e fissiamo delle basi $\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ di $V$ e $\{w_{1},\dots,w_{m}\}$ di $W$ .

In base al teorema precedente, una funzione lineare $f\colon V\to W$ è determinata, in modo unico, dalla conoscenza dei vettori $f(v_{j})$ , per $j=1,\dots,n$ . Poiché $\{w_{1},\dots,w_{m}\}$ è una base di $W$ , per ogni $j=1,\dots,n$ possiamo scrivere

f(v_{j})=\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}\,w_{i},

per degli opportuni $a_{i,j}\in K$ , con $i=1,\dots,m$ e $j=1,\dots,n$ .

Da quanto detto si deduce quindi che una funzione lineare $f\colon V\to W$ è determinata in modo unico dal dato di $m\,n$ elementi $a_{i,j}$ del campo $K$ , cioè da una matrice $A$ del tipo

A=\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots&a_{1,n}\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\dots&a_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m,1}&a_{m,2}&\dots&a_{m,n}\end{pmatrix}

Ad ogni funzione lineare $f\colon V\to W$ può dunque essere associata una matrice $m\times n$ a elementi in $K$ . Naturalmente tale matrice dipende, oltre che dalla funzione $f$ , anche dalla scelta delle basi di $V$ e $W$ . Quando sarà opportuno indicare esplicitamente la dipendenza dalle basi, scriveremo $A=M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(f)$ per denotare la matrice di $f\colon V\to W$ rispetto alle basi ${\mathbf{v}}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ di $V$ e ${\mathbf{w}}=\{w_{1},\dots,w_{m}\}$ di $W$ .

Osservazione. Ricordiamo che se un vettore $v\in V$ si scrive come combinazione lineare

v=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\cdots+\lambda_{n}v_{n}

degli elementi di una base ${\mathbf{v}}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ di $V$ , i coefficienti $\lambda_{1},\dots,\lambda_{n}$ che compaiono in una tale espressione si dicono le coordinate di $v$ rispetto alla base fissata. Anche in questo caso, quando sarà opportuno indicare esplicitamente la base, scriveremo $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})^{\mathbf{v}}$ .

Possiamo allora osservare che, dalla definizione della matrice $M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(f)$ associata a un omomorfismo $f\colon V\to W$ , rispetto alle basi ${\mathbf{v}}=\{v_{1},\dots,v_{n}\}$ di $V$ e ${\mathbf{w}}=\{w_{1},\dots,w_{m}\}$ di $W$ , segue che le coordinate del vettore $f(v_{j})$ , rispetto alla base di $W$ fissata, costituiscono la $j$ -esima colonna della matrice $M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(f)$ . Questa osservazione si rivela utile quando è necessario scrivere esplicitamente la matrice associata a una data funzione lineare.

Vediamo ora come si può utilizzare la matrice di una funzione lineare $f$ per calcolare l’immagine di un vettore $v\in V$ , cioè per determinare il vettore $w=f(v)$ .

Sia dunque $v\in V$ e sia $w=f(v)\in W$ . Scriviamo $v$ come combinazione lineare dei vettori della base $\mathbf{v}$ :

v=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\cdots+\lambda_{n}v_{n}.

e $w$ come combinazione lineare dei vettori della base $\mathbf{w}$ :

w=\mu_{1}w_{1}+\mu_{2}w_{2}+\cdots+\mu_{m}w_{m}.

Applicando la funzione $f$ al vettore $v$ e sfruttando la linearità di $f$ , si ha:

	$\displaystyle w=f(v)$	$\displaystyle=f(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\cdots+\lambda_{n}v_{n})=% \sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}f(v_{j})$
		$\displaystyle=\sum_{j=1}^{n}\lambda_{j}\Big{(}\sum_{i=1}^{m}a_{i,j}w_{i}\Big{)% }=\sum_{i=1}^{m}\Big{(}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\lambda_{j}\Big{)}w_{i}.$

Confrontando questa espressione con la seguente

w=\mu_{1}w_{1}+\mu_{2}w_{2}+\cdots+\mu_{m}w_{m}.

si deduce l’uguaglianza

\mu_{i}=\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}\lambda_{j}.

In termini di prodotto righe per colonne di una matrice per un vettore, quest’ultima uguaglianza è equivalente alla seguente:

\begin{pmatrix}\mu_{1}\\ \vdots\\ \mu_{m}\end{pmatrix}^{\kern-3.5pt\mathbf{w}}=M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(f)% \begin{pmatrix}\lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{n}\end{pmatrix}^{\kern-3.5pt\mathbf{v}}

Questa formula ci dice che per calcolare le coordinate del vettore $w=f(v)$ nella base $\mathbf{w}$ è sufficente moltiplicare la matrice $M_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}}(f)$ per il vettore colonna costituito dalle coordinate del vettore $v$ nella base $\mathbf{v}$ .