1 Funzioni lineari

Lezione 11

1 Funzioni lineari

Ci occuperemo ora dello studio delle funzioni definite tra due spazi vettoriali che “rispettano” la struttura di spazio vettoriale, cioè che sono compatibili con le operazioni di somma di vettori e di prodotto di un vettore per uno scalare.

Definizione. Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali su un campo $K$ . Una funzione $f\colon V\to W$ è detta lineare se

1.

$f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$
2.

$f(\lambda v)=\lambda f(v)$

per ogni $v,v_{1},v_{2}\in V$ e ogni $\lambda\in K$ .

Una funzione lineare tra due spazi vettoriali è anche detta un omomorfismo di spazi vettoriali.

Definizione. Sia $f\colon V\to W$ un omomorfismo di spazi vettoriali. $f$ è un isomorfismo se esiste un omomorfismo $g\colon W\to V$ tale che $g\circ f$ e $f\circ g$ sono la funzione identica.

In altre parole, dire che $f$ è un isomorfismo di spazi vettoriali equivale a dire che $f$ è un omomorfismo invertibile e che la sua funzione inversa è lineare.

Due spazi vettoriali $V$ e $W$ su $K$ si dicono isomorfi se esiste un isomorfismo $f\colon V\to W$ . Quando vorremo indicare che $V$ e $W$ sono isomorfi senza specificare quale sia l’isomorfismo, scriveremo semplicemente $V\cong W$ .

Dalla definizione data segue che un isomorfismo di spazi vettoriali è una funzione biiettiva. Dimostriamo ora il viceversa:

Teorema. Sia $f\colon V\to W$ un omomorfismo di spazi vettoriali. Se la funzione $f$ è biiettiva essa è un isomorfismo.

Dimostrazione. Poiché $f$ è biiettiva essa è invertibile. Rimane quindi solo da dimostrare che la funzione inversa $f^{-1}\colon W\to V$ è lineare.

Siano dunque $w_{1},w_{2}\in W$ e poniamo $v_{1}=f^{-1}(w_{1})$ e $v_{2}=f^{-1}(w_{2})$ . Dall’additività di $f$ si deduce che $f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})=w_{1}+w_{2}$ , da cui segue che $f^{-1}(w_{1}+w_{2})=v_{1}+v_{2}=f^{-1}(w_{1})+f^{-1}(w_{2})$ ; ciò dimostra che $f^{-1}$ è additiva.

Consideriamo ora uno scalare $\lambda\in K$ . Dalla linearità di $f$ segue che $f(\lambda v_{1})=\lambda f(v_{1})=\lambda w_{1}$ , da cui si deduce che $f^{-1}(\lambda w_{1})=\lambda v_{1}=\lambda f^{-1}(w_{1})$ . Abbiamo così dimostrato che $f^{-1}$ è lineare.

L’importanza della nozione di isomorfismo è data dal fatto che esso permette di “identificare” spazi vettoriali diversi, a patto che siano isomorfi. Si può così arrivare a una classificazione degli spazi vettoriali, come descritto nel seguente risultato:

Teorema. Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $K$ . Allora $V$ è isomorfo (non canonicamente) allo spazio vettoriale $K^{n}$ .

Dimostrazione. Fissiamo una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ di $V$ . Facciamo notare che ciò è sempre possibile, anche se non c’è, in generale, nessuna scelta “canonica” per una tale base.

Ora possiamo definire una funzione $f\colon V\to K^{n}$ la quale associa a un vettore $v\in V$ l’unica $n$ -upla $(\lambda_{1},\dots,\lambda_{n})\in K^{n}$ per cui si ha

v=\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{n}v_{n}.

È immediato verificare che la funzione $f$ è lineare. Essa è inoltre biiettiva, dato che $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{n}\}$ è una base di $V$ . Si deduce quindi che $f$ è un isomorfismo.

Vogliamo far notare che la funzione $f$ dipende dalla base di $V$ che è stata scelta. La non esistenza, in generale, di una base canonica ha quindi come conseguenza la non esistenza di una scelta canonica di un isomorfismo tra $V$ e $K^{n}$ .

Corollario. Due spazi vettoriali di dimensione finita sul campo $K$ sono isomorfi (non in modo canonico) se e solo se hanno la stessa dimensione.

2 Nucleo e immagine

Introduciamo ora due sottospazi vettoriali particolarmente importanti associati a una funzione lineare:

Definizione. Sia $f\colon V\to W$ una funzione lineare tra due spazi vettoriali. Il nucleo di $f$ è l’insieme dei vettori $v$ tali che $f(v)=0$

{\rm Ker}(f)=\{v\in V\,:\,f(v)=0\}.

L’immagine di $f$ è l’insieme dei vettori $w$ che sono immagine tramite $f$ di qualche vettore $v\in V$ , cioè tali che $w=f(v)$ per qualche $v\in V$

{\rm Im}(f)=\{w\in W\,:\,w=f(v),\text{ per qualche }v\in V\}.

Teorema. Il nucleo di una funzione lineare $f\colon V\to W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ , mentre l’immagine di $f$ è un sottospazio vettoriale di $W$ .

Dimostrazione. Siano $v_{1},v_{2}\in{\rm Ker}(f)$ e consideriamo una combinazione lineare $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}$ , con $\lambda_{1},\lambda_{2}\in K$ . Dalla linearità di $f$ segue che

f(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2})=\lambda_{1}f(v_{1})+\lambda_{2}f(v_{2})=0,

quindi $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}\in{\rm Ker}(f)$ . Questo dimostra che ${\rm Ker}(f)$ è un sottospazio vettoriale di $V$ .

Passiamo ora all’immagine di $f$ . Siano $w_{1},w_{2}\in{\rm Im}(f)$ e siano $v_{1},v_{2}\in V$ tali che $w_{1}=f(v_{1})$ e $w_{2}=f(v_{2})$ . Dalla linearità di $f$ segue che

f(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2})=\lambda_{1}f(v_{1})+\lambda_{2}f(v_{2})=% \lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}w_{2},

il che significa che $\lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}w_{2}\in{\rm Im}(f)$ , per ogni $\lambda_{1},\lambda_{2}\in K$ . Ciò dimostra che ${\rm Im}(f)$ è un sottospazio vettoriale di $W$ .

Il seguente risultato fornisce una caratterizzazione delle funzioni lineari iniettive in termini di annullamento del nucleo.

Teorema. Sia $f\colon V\to W$ una funzione lineare. Allora $f$ è iniettiva se e solo se ${\rm Ker}(f)=\{0\}$ .

Dimostrazione. Supponiamo che $f$ sia iniettiva. Sia $v\in{\rm Ker}(f)$ : si ha quindi $f(v)=0$ . Ricordando che $f(0)=0$ , dall’iniettività di $f$ si deduce che $v=0$ , il che dimostra che ${\rm Ker}(f)=\{0\}$ .

Viceversa, supponiamo che ${\rm Ker}(f)=\{0\}$ . Siano $v_{1},v_{2}\in V$ tali che $f(v_{1})=f(v_{2})$ . Dalla linearità di $f$ si ha

f(v_{1}-v_{2})=f(v_{1})-f(v_{2})=0,

quindi $v_{1}-v_{2}\in{\rm Ker}(f)$ . Poiché, per ipotesi, ${\rm Ker}(f)=\{0\}$ , si ha $v_{1}-v_{2}=0$ , cioè $v_{1}=v_{2}$ . Questo dimostra che $f$ è iniettiva.

Abbiamo visto come il nucleo di una funzione lineare $f\colon V\to W$ sia sempre un sottospazio vettoriale di $V$ . Ora dimostreremo che, più in generale, l’immagine inversa di un qualsiasi vettore $w\in{\rm Im}(f)$ si ottiene semplicemente “traslando” il nucleo di $f$ tramite un qualsiasi vettore $v\in f^{-1}(w)$ .

Teorema. Sia $f\colon V\to W$ una funzione lineare e sia $w\in W$ . Se $w\in{\rm Im}(f)$ si ha

f^{-1}(w)=v+{\rm Ker}(f)=\{v+u\,:\,u\in{\rm Ker}(f)\},

ove $v$ è un qualsiasi vettore tale che $f(v)=w$ ; se invece $w\not\in{\rm Im}(f)$ si ha $f^{-1}(w)=\emptyset$ .

Dimostrazione. Sia $v\in V$ tale che $f(v)=w$ . Per ogni $u\in{\rm Ker}(f)$ , si ha $f(v+u)=f(v)+f(u)=w+0=w$ . Ciò dimostra che $v+{\rm Ker}(f)\subseteq f^{-1}(w)$ .

Viceversa, per ogni $v^{\prime}\in f^{-1}(w)$ poniamo $u=v^{\prime}-v$ . Si ha $f(u)=f(v^{\prime})-f(v)=w-w=0$ , quindi $u\in{\rm Ker}(f)$ . Da ciò discende che $v^{\prime}=v+u\in v+{\rm Ker}(f)$ , quindi vale anche l’inclusione $f^{-1}(w)\subseteq v+{\rm Ker}(f)$ . L’ultima affermazione è ovvia.

Le dimensioni del nucleo e dell’immagine di una funzione lineare sono legate tra loro dalla seguente relazione:

Teorema. Sia $f\colon V\to W$ una funzione lineare. Se $V$ ha dimensione finita, si ha

\dim(V)=\dim{\rm Ker}(f)+\dim{\rm Im}(f).

Dimostrazione. Poniamo $n=\dim(V)$ e $r=\dim{\rm Ker}(f)$ ; bisogna quindi dimostrare che $\dim{\rm Im}(f)=n-r$ . Consideriamo una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{r}\}$ di ${\rm Ker}(f)$ e completiamola a una base $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{r},v_{r+1},\dots,v_{n}\}$ di $V$ . Ricordiamo che le immagini tramite $f$ dei vettori di una base di $V$ formano un insieme di generatori di ${\rm Im}(f)$ . Dato che $f(v_{1})=f(v_{2})=\cdots=f(v_{r})=0$ , se ne deduce che i vettori

w_{1}=f(v_{r+1}),\,w_{2}=f(v_{r+2}),\,\dots,w_{n-r}=f(v_{n})

generano l’immagine di $f$ . Dimostriamo ora che tali vettori sono anche linearmente indipendenti. Consideriamo una combinazione lineare

\lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}w_{2}+\cdots+\lambda_{n-r}w_{n-r}=0.

Dalla linearità di $f$ , si ha

	$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}w_{2}+\cdots+\lambda_{n-r}w_{n-r}$
		$\displaystyle=\lambda_{1}f(v_{r+1})+\lambda_{2}f(v_{r+2})+\cdots+\lambda_{n-r}% f(v_{n})$
		$\displaystyle=f(\lambda_{1}v_{r+1}+\lambda_{2}v_{r+2}+\cdots+\lambda_{n-r}v_{n})$

e pertanto

\lambda_{1}v_{r+1}+\lambda_{2}v_{r+2}+\cdots+\lambda_{n-r}v_{n}\in{\rm Ker}(f).

Poiché $\{v_{1},v_{2},\dots,v_{r}\}$ è una base di ${\rm Ker}(f)$ , si ha

\lambda_{1}v_{r+1}+\lambda_{2}v_{r+2}+\cdots+\lambda_{n-r}v_{n}=\mu_{1}v_{1}+% \mu_{2}v_{2}+\cdots+\mu_{r}v_{r}

e quindi

\mu_{1}v_{1}+\mu_{2}v_{2}+\cdots+\mu_{r}v_{r}-\lambda_{1}v_{r+1}-\lambda_{2}v_% {r+2}-\cdots-\lambda_{n-r}v_{n}=0.

Dato che, per ipotesi, i vettori $v_{1},v_{2},\dots,v_{n}$ sono una base di $V$ , si conclude che

\mu_{1}=\mu_{2}=\cdots=\mu_{r}=0,\,\,\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n% -r}=0,

il che dimostra che i vettori $w_{1},w_{2},\dots,w_{n-r}$ sono linearmente indipendenti. Concludiamo quindi che tali vettori sono una base dell’immagine di $f$ e dunque $\dim{\rm Im}(f)=n-r$ , come volevasi dimostrare.

Osservazione. Sia $f\colon V\to W$ una funzione lineare tra due spazi vettoriali. La dimensione dell’immagine di $f$ è detta il rango di $f$ ,

{\rm rango}(f)=\dim{\rm Im}(f)

mentre la dimensione del nucleo di $f$ è detta la nullità di $f$ ,

\text{nullit\`{a}}(f)=\dim{\rm Ker}(f).

Il risultato precedente afferma quindi che, per ogni funzione lineare $f\colon V\to W$ , si ha

{\rm rango}(f)+\text{nullit\`{a}}(f)=\dim(V).