Lezione 10

1 Sistemi lineari

Riprendiamo lo studio dei sistemi di equazioni lineari alla luce di ciò che abbiamo appreso sulle matrici.

Dato un sistema $S$ di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite

indichiamo con $A=(a_{i,j})$ la matrice costituita dei coefficienti delle incognite, con $X=(x_1,\mathrm{\dots },x_n)$ il vettore colonna costituito dalle $n$ incognite e con $B=(b_1,\mathrm{\dots },b_m)$ il vettore colonna dei termini noti.

Ricordando la definizione del prodotto di una matrice per un vettore, è immediato verificare che il sistema $S$ è equivalente alla seguente equazione:

$$AX=B,$$

cioè

Ricordiamo che un sistema lineare $AX=B$ è detto omogeneo se $B=0$.

Teorema. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo di $m$ equazioni in $n$ incognite a coefficienti in $K$ è un sottospazio vettoriale di $K^n$.

Dimostrazione. Siano $X_1$ e $X_2$ due soluzioni del sistema $AX=0$. Per ogni ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in K$, si ha

$$A({\lambda }_1{X}_1+{\lambda }_2{X}_2)={\lambda }_{1}A{X}_1+{\lambda }_{2}A{X}_2={\lambda }_1\cdot 0+{\lambda }_2\cdot 0=0,$$

quindi anche ${\lambda }_1{X}_1+{\lambda }_2{X}_2$ è una soluzione del sistema in questione. Ciò significa che l’insieme delle soluzioni del sistema $AX=0$ è un sottospazio vettoriale di $K^n$.

Nel caso di sistemi non omogenei, si ha:

Teorema. Ogni soluzione del sistema lineare non omogeneo

$$S:AX=B$$

può essere espressa come somma di una soluzione particolare di $S$ con una soluzione del sistema omogeneo associato. In altri termini, se indichiamo con ${\mathrm{\Sigma }}_B$ l’insieme delle soluzioni di $S$ e con ${\mathrm{\Sigma }}_0$ l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato $AX=0$, si ha ${\mathrm{\Sigma }}_B=\mathrm{\varnothing }$ (se $S$ non ammette soluzioni), oppure

$${\mathrm{\Sigma }}_B=\overline{X}+{\mathrm{\Sigma }}_0=\{\overline{X}+Y:Y\in {\mathrm{\Sigma }}_0\},$$

ove $\overline{X}$ è una qualsiasi soluzione di $S$.

Dimostrazione. Supponiamo che il sistema lineare non omogeneo $S:AX=B$ ammetta soluzioni e indichiamo con $\overline{X}$ una sua soluzione. Sia $\tilde{X}$ un’altra soluzione di $S$ e poniamo $Y=\tilde{X}-\overline{X}$. Si ha

$$AY=A(\tilde{X}-\overline{X})=A\tilde{X}-A\overline{X}=B-B=0,$$

quindi $Y$ è una soluzione del sistema omogeneo $AX=0$.

Dato che $\tilde{X}=\overline{X}+Y$ questo dimostra che ogni soluzione $\tilde{X}$ di $S$ è la somma di $\overline{X}$ con una soluzione del sistema omogeneo associato.

Ora dimostreremo che il rango per righe di una matrice concide con il suo rango per colonne.

Teorema. Sia $A$ una matrice con $m$ righe e $n$ colonne. Indichiamo con $r$ il numero di righe linearmente indipendenti (rango per righe) e con $c$ il numero di colonne linearmente indipendenti (rango per colonne). Allora $r=c$.

Dimostrazione. Indichiamo con $C_1,C_2,\mathrm{\dots },C_n$ le colonne della matrice $A$. Per determinare il numero di colonne linearmente indipendenti dobbiamo considerare combinazioni lineari del tipo

$$C_1{x}_1+C_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+C_n{x}_n=0.$$

Si ottiene così il sistema

cioè $AX=0$. Questo significa che il numero $c$ di colonne linearmente indipendenti è determinato dall’insieme delle soluzioni del sistema $AX=0$ e, pertanto, sistemi equivalenti, cioè sistemi con lo stesso insieme di soluzioni, hanno lo stesso rango per colonne $c$.

Per risolvere il sistema $AX=0$ riduciamo la matrice $A$ in forma a scala, ottenendo una matrice $A^{\prime }$ con $m$ righe, ma nella quale solo le prime $r$ righe non sono nulle. Possiamo quindi cancellare tutte le righe nulle ottenendo una matrice $A^{\prime }$ avente solo $r$ righe non nulle. Dato che i sistemi $AX=0$ e $A^{\prime }X=0$ hanno le stesse soluzioni, le matrici $A$ e $A^{\prime }$ hanno anche lo stesso rango per colonne $c$. Dato che la matrice $A^{\prime }$ ha $r$ righe, i vettori colonna di $A^{\prime }$ sono elementi di $K^r$, il quale ha dimensione $r$. Pertanto il numero $c$ di colonne linearmente indipendenti deve essere minore o uguale a $r$: $c\le r$. Questo significa che, per ogni matrice $A$, vale la disuguaglianza $c\le r$. Ragionando allo stesso modo con la matrice trasposta di $A$ si conclude che deve essere $r\le c$ e quindi $r=c$.

Siamo ora in grado di determinare delle condizioni che garantiscono l’esistenza di soluzioni di un sistema di equazioni lineari.

Teorema. Sia $S:AX=B$ un sistema di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite. Le condizioni seguenti sono equivalenti:

1. Il sistema $S$ ammette soluzioni;

2. Il vettore $B$ è combinazione lineare delle colonne di $A$;

3. Il rango della matrice $A$ è uguale al rango della matrice completa $(A|B)$, ove quest’ultima è la matrice ottenuta aggiungendo ad $A$ la colonna $B$ dei termini noti.

Dimostrazione. Osserviamo che, se indichiamo con $C_1,C_2,\mathrm{\dots },C_n$ le colonne della matrice $A$, il sistema $S:AX=B$ si scrive come segue:

$$C_1{x}_1+C_2{x}_2+\mathrm{\cdots }+C_n{x}_n=B.$$

Questa scrittura esprime il vettore $B$ come combinazione lineare delle colonne della matrice $A$, pertanto risulta evidente l’equivalenza delle condizioni (1) e (2).

Consideriamo ora la condizione (3). Sia $r$ il rango della matrice $A$, pertanto tra le colonne di $A$ ce ne sono esattamente $r$ linearmente indipendenti. Se ora aggiungiamo la colonna $B$ dei termini noti possono accadere solo due cose: il rango aumenta di $1$, e questo accade se e solo se la colonna $B$ che abbiamo aggiunto è linearmente indipendente dalle colonne di $A$, oppure il rango non cambia, e questo accade se e solo se la colonna $B$ è linearmente dipendente dalle colonne di $A$.

Dato che abbiamo già osservato che il sistema $S$ ha soluzioni se e solo se la colonna $B$ è combinazione lineare delle colonne di $A$, questo dimostra che $S$ ha soluzioni se e solo se il rango della matrice completa $(A|B)$ è uguale al rango di $A$.

Quanto visto finora ci consente di dimostrare il seguente teorema:

Teorema (di Rouché–Capelli). Sia $S:AX=B$ un sistema di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite. $S$ ammette soluzioni se e solo se $\mathrm{rango}(A)=\mathrm{rango}(A|B)$. In tal caso, se indichiamo con $r$ il valore comune dei ranghi delle due matrici, si ha:

1. se $r=n$ il sistema ammette un’unica soluzione;

2. se il sistema ammette infinite soluzioni, le quali dipendono da $n-r$ parametri liberi di variare (in tal caso si dice che $S$ ammette ${\mathrm{\infty }}^{n-r}$ soluzioni).

Dimostrazione. Il fatto che l’uguaglianza tra i ranghi delle matrici $A$ e $(A|B)$ sia una condizione necessaria e sufficiente per la risolubilità del sistema $S$ è stato dimostrato prima.

Riducendo il sistema $S$ in forma a scala tramite l’eliminazione di Gauss otteniamo un sistema che ha $r$ equazioni indipendenti e $n$ incognite. Se $r=n$ è possibile determinare il valore di tutte le incognite, quindi la soluzione è unica. Se invece possiamo ricavare solo $r$ delle $n$ incognite in funzione delle rimanenti $n-r$ incognite che sono libere di variare, cioè possono assumere qualunque valore nel campo $K$. Questo significa che il sistema ha infinite soluzioni che dipendono da $n-r$ parametri liberi di variare.