Lezioni di Geometria e Algebra Lineare
- Lezione 1
Il campo dei numeri complessi. Operazioni con i numeri complessi.
- Lezione 2
Modulo e argomento di un numero complesso. Rappresentazione trigonometrica e rappresentazione esponenziale di un numero complesso. Radici dell’unità.
- Lezione 3
Spazi vettoriali. Combinazioni lineari di vettori. Sottospazi vettoriali. Intersezione di sottospazi vettoriali.
- Lezione 4
Sottospazio vettoriale generato da un insieme di vettori. Somma di sottospazi vettoriali. Somma diretta. Insiemi di generatori, insiemi liberi, vettori linearmente indipendenti.
- Lezione 5
Base di uno spazio vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Dimensione di uno spazio vettoriale.
- Lezione 6
La dimensione della somma e dell'intersezione di due sottospazi vettoriali (formula di Grassmann).
- Lezione 7
Somma diretta e prodotto di spazi vettoriali. Lo spazio vettoriale quoziente.
- Lezione 8
Matrici. Operazioni con matrici. La trasposta di una matrice.
- Lezione 9
Matrici quadrate. Matrici scalari, diagonali, triangolari. Rango di una matrice. Riduzione di una matrice in forma a scala.
- Lezione 10
Sistemi di equazioni lineari. Sistemi omogenei e non omogenei. Condizioni per l'esistenza di soluzioni di un sistema lineare (il teorema di Rouché-Capelli).
- Lezione 11
Funzioni lineari. Nucleo e immagine di una funzione lineare. Il teorema delle dimensioni (teorema del rango + nullità).
- Lezione 12
Esempi di funzioni lineari: le proiezioni e le simmetrie. Matrici associate alle funzioni lineari.
- Lezione 13
Immagine inversa di un vettore tramite una funzione lineare. Operazioni con funzioni lineari e operazioni con matrici. Cambiamenti di base. Formula di cambiamento di base per le ma...
- Lezione 14
Inversa di una funzione lineare o di una matrice: inversa destra e inversa sinistra. Calcolo dell'inversa di una matrice. Operazioni elementari sulle righe o sulle colonne di una m...
- Lezione 15
Il duale di uno spazio vettoriale. Sottospazi ortogonali. La base duale.
- Lezione 16
Il biduale di uno spazio vettoriale. La trasposta di una funzione lineare.
- Lezione 17
Il determinante di una funzione lineare (o di una matrice quadrata). Forme multilineari alternanti. Formula esplicita per il calcolo del determinante.
- Lezione 18
Proprietà del determinante. Il teorema di Binet. Calcolo del determinante mediante operazioni elementari sulle righe di una matrice.
- Lezione 19
La formula di Laplace per il calcolo del determinante. Il teorema di Cramer. Minori e rango di una matrice. Il principio dei minori orlati.
- Lezione 20
Autovalori e autovettori. Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata.
- Lezione 21
Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Un criterio di diagonalizzabilità per una matrice quadrata.
- Lezione 22
Triangolarizzazione di una matrice quadrata. Valutazione di un polinomio in una matrice quadrata. Il teorema di Hamilton-Cayley.
- Lezione 23
Il polinomio minimo di una matrice quadrata. Il teorema di decomposizione. Un altro criterio di diagonalizzabilità.
- Lezione 24
Autovettori generalizzati e loro proprietà.
- Lezione 25
Blocchi di Jordan. La forma canonica di Jordan.
- Lezione 26
Esempi di calcolo della forma canonica di Jordan di una matrice.
- Lezione 27
Lunghezza (modulo) di un vettore. Angolo compreso tra due vettori. Il prodotto scalare in R^n.
- Lezione 28
Area di un parallelogramma. Volume di un parallelepipedo. Ortogonalità tra vettori. L'ortogonale di un sottospazio vettoriale.
- Lezione 29
Proiezioni ortogonali. Matrici di proiezione. Il metodo dei minimi quadrati.
- Lezione 30
Basi ortogonali e basi ortonormali. Il procedimento di Gram-Schmidt.
- Lezione 31
Forme bilineari simmetriche. Forme degeneri e non degeneri. Vettori ortogonali, vettori isotropi. Sottospazi ortogonali. Forme definite positive, negative, indefinite.
- Lezione 32
Matrici associate alle forme bilineari. Cambiamenti di base. Matrici congruenti. Matrici ortogonali.
- Lezione 33
Basi ortogonali e ortonormali. Matrici definite positive, negative, indefinite.
- Lezione 34
Funzioni lineari simmetriche. Il teorema spettrale per le matrici simmetriche.
- Lezione 35
Il prodotto scalare hermitiano. Forme hermitiane. Matrici associate alle forme hermitiane. Cambiamenti di base. Matrici unitarie.
- Lezione 36
Funzioni lineari autoaggiunte. Il teorema spettrale per le matrici hermitiane.
- Lezione 37
Spazi affini. Punti e vettori.
- Lezione 38
Sottospazi affini (sottovarietà lineari). Intersezione e somma di sottospazi affini. Sottospazi incidenti, paralleli, sghembi.
- Lezione 39
Sistemi di riferimento in uno spazio affine. Equazioni dei sottospazi affini. Equazioni di rette, piani, iperpiani.
- Lezione 40
Spazi affini euclidei. Distanza tra punti, distanza tra sottospazi affini.
- Lezione 41
Formule per la distanza di un punto da una retta o di un punto da un iperpiano. Distanza tra due rette.
- Lezione 42
Angolo compreso tra due rette incidenti. Angolo compreso tra una retta e una sottovarietà lineare. Angolo compreso tra due iperpiani.